极坐标->笛卡尔转换的快速算法

Question

我有一个极坐标网格上的图像。该图像应转换为笛卡尔网格，但我所知道的唯一算法对此非常慢。现在我使用笛卡尔网格，对于每个点我找到 r 和 theta 值，然后我查看两个向量以找到由以下定义的最小误差：

min{(th_vec - theta)^2 + (range - r)^2}

这在外部嵌套的 for 循环内提供了一个嵌套的 for 循环，所以我的复杂度为 O(N^4)。一张 512x512 的图像需要一整分钟才能完成。当然，不能使用这样的复杂性，所以我想知道是否有人知道任何更快的算法可以做到这一点？

我有图像和两个向量。图像的 X 轴是角度，而图像的 Y 轴是距中心的长度。角度始终为 0-2pi，范围为 0 到 r_max。

提前谢谢你。

编辑：范围从 0 到 r_max，而不是以前的 -r_max 到 r_max。我看到有一些误解。我已经使用了正常，逆，转换;

r=sqrt(x^2 + y^2); theta=atan2(y,x);

问题是我必须首先将 x 和 y 值转换为 x' 和 y' 值，因为网格在结果图像中是从 -r_max 到 r_max，但在数据中以像素为单位。所以我有一个 512x512 的图像，但 r_max 可以是 3.512 之类的东西。所以我必须将每个像素值转换为网格值，然后找到 r 和 theta 值。当我找到 r 和 theta 值时，我必须通过两个向量 range 和 th_vec 运行，以找到原始图像中匹配的像素：

min{(range - r)^2 + (th_vec - theta)^2}

这给了我 O(n^4) 的复杂度，因为 th_vec 和范围向量与图像的大小相同。因此，如果我有一个 512x512 元素的方阵，我必须运行 68 719 476 736 个元素，这很慢。所以我想知道是否有更快的算法？我无法更改输入数据，据我所知，如果您不从三角剖分之类的东西开始，这是唯一的方法，但这在内存方面很昂贵。

Answer 1

如果您的所有图像都是 512x512，那么我会使用查找表将极坐标图像中的一组加权像素映射到笛卡尔图像。这是很多前期工作，但最终计算结果为 O(n^2)。如果 LUT 不是一个选项，那么我会使用：

x=r*cos(angle)
y=r*sin(angle)

在极坐标图像中的每个像素上将其映射到笛卡尔图像中的“a”像素，其中输出像素是落在其上的所有输入像素的平均值。然后应用重复的膨胀，直到没有未初始化的像素离开。对于膨胀，您使用 3x3 结构元素，并且如果之前没有值，则仅将输出像素的值替换为中心像素的值。然后，作为最终措施，对整个图像应用高斯滤波器以平滑硬边缘。这是我能想到的最快的方法，它可以在合理的时间内生成令人愉悦的图像。

Answer 2

O(N²log(N)) 算法：

• 阵列 S 将用于每个笛卡尔坐标的最近源（极坐标）坐标。
• S 开始填充“尚未初始化”值。 （Python：无，Haskell：无，等等）
• O(N²) - 迭代所有极坐标。
  • 转换为笛卡尔坐标
  • 在您的目标图像中查找最近的笛卡尔坐标。 （通过四舍五入和应用边框）
  • 用这个坐标填入S中的相关单元格
• O(N²log(N)) - 执行修改后的 Dijkstra 算法，如下所述：
  • 我们的搜索算法的“图表”如下：
    • S 的所有单元都是节点
    • 一个细胞的邻居是国际象棋中的国王可以从它移动到的那些人
  • 如果未初始化，单元格的“分数”是无限的，并且与未触及的距离 其指向的极坐标的笛卡尔坐标
  • 更新单元格 N 的邻居时，我们将单元格 N 的值放入其中（但与 Dijkstra 一样，只有当它的得分高于当前得分时）
  • 起点是如上所述初始化的数组S

Answer 3

内存失败，但该算法可能有一个涉及 FFT 的快速版本。曾几何时，我上了一门医学成像课程，似乎在取消转换/光栅化 CT 扫描时出现了这种东西。一些要搜索的关键字是氡变换、过滤的反投影算法和 CT 扫描。我在 wikipedia 上简单地查找了这些内容，但没有发现任何问题，但也许更彻底的审查会发现一些黄金。

Answer 4

您可以遍历极坐标图像映射中的每个像素，然后在笛卡尔图像平面中渲染生成的弧段：

polar to cartesian conversion http://img24.imageshack.us/img24/4635/polartocartesian.png

const float dR = 2*r_max / polar_image_height;
const float dA = 2*pi / polar_image_width;

float angle;
float radius;
for (int polar_x = 0; polar_x < polar_image_width; polar_x++)
{
    for (int polar_y = 0; polar_y < polar_image_height; polar_y++)
    {
        angle = polar_x * dA;
        radius = polar_y * dR - r_max;
        DrawArcSection(radius, radius+dR, angle, angle+dA);
    }
}

许多绘图库都有用于绘制该弧段的内置函数，但您总是可以用一个简单的多边形来近似它：

void DrawArcSection(float minRadius, float maxRadius,
                    float minAngle, float maxAngle)
{
    point P1 = MakePoint(minRadius * cos(minAngle) + image_width/2,
                         minRadius * sin(minAngle) + image_height/2);
    point P2 = MakePoint(minRadius * cos(maxAngle) + image_width/2,
                         minRadius * sin(maxAngle) + image_height/2);
    point P3 = MakePoint(maxRadius * cos(minAngle) + image_width/2,
                         maxRadius * sin(minAngle) + image_height/2);
    point P3 = MakePoint(maxRadius * cos(maxAngle) + image_width/2,
                         maxRadius * sin(maxAngle) + image_height/2);

    DrawPolygon(P1, P2, P3, P4);
}

Answer 5

如果您的网格相对于极坐标是均匀分区的，那么如果您利用离 (r, theta) 最近的点将是包含它的网格元素的四个角。

在更一般的情况下，网格是 r 和 theta 维度的任意分区的乘积，如果您必须在每个分区。但是，如果分区是系统构建的，你应该可以回到 O(N^2)。

Answer 6

怎么样

x=r*cos(angle)
y=r*sin(angle)

这是从极坐标转换为笛卡尔坐标的标准方法，除非您要使用某种表格查找，否则没有真正更快的选择。

编辑：wrang wrang 有一个很好的观点。如果您尝试将极坐标I(angle, r) 中的图像转换为笛卡尔坐标I_new(x, y) 中的图像，则最好使用逆变换，如下所示：

for x=1,...,width
    for y=1,...,height
        angle=atan2(y, x)
        r=sqrt(x^2+y^2)
        I_new(x, y)=I(angle, r)
    end
end

通常，angle 和 r 不会是整数，因此您必须在图像 I 中进行某种插值。最简单的方法是简单地将angle 和r 舍入；这会给你nearest-neighbour interpolation。如果您需要更好的质量，请尝试更复杂的插值类型，例如 bilinear 或 bicubic 插值。

Answer 7

如果您不关心平滑，为什么不计算每个目标笛卡尔像素坐标的极坐标并读取颜色值？如果您需要帮助，请参阅 http://en.wikipedia.org/wiki/Polar_coordinate_system#Converting_between_polar_and_Cartesian_coordinates。