当提供一个空列表时， itertools.product() 应该产生什么？

Question

我猜这是一个学术问题，但第二个结果对我来说没有意义。不应该和第一次一样彻底空吗？这种行为的基本原理是什么？

from itertools import product

one_empty = [ [1,2], [] ]
all_empty = []

print [ t for t in product(*one_empty) ]  # []
print [ t for t in product(*all_empty) ]  # [()]

更新

感谢所有的答案——非常有用。

维基百科对Nullary Cartesian Product 的讨论提供了明确的声明：

无集的笛卡尔积... 是包含 空元组。

下面是一些代码，您可以使用这些代码来处理富有洞察力的answer from sth：

from itertools import product

def tproduct(*xss):
    return ( sum(rs, ()) for rs in product(*xss) )

def tup(x):
    return (x,)

xs = [ [1, 2],     [3, 4, 5]       ]
ys = [ ['a', 'b'], ['c', 'd', 'e'] ]

txs = [ map(tup, x) for x in xs ]  # [[(1,), (2,)], [(3,), (4,), (5,)]]
tys = [ map(tup, y) for y in ys ]  # [[('a',), ('b',)], [('c',), ('d',), ('e',)]]

a = [ p for p in tproduct( *(txs + tys) )                   ]
b = [ p for p in tproduct( tproduct(*txs), tproduct(*tys) ) ]

assert a == b

Answer 1

从数学的角度来看，任何元素的乘积都应该产生操作 product 的中性元素，不管是什么。

例如对于整数，乘法的中性元素是1，因为对于所有整数a，1 ⋅ a = a。所以整数的空乘积应该是1。当实现一个返回数字列表乘积的python函数时，这很自然地发生了：

def iproduct(lst):
  result = 1
  for i in lst:
    result *= i
  return result

要使用此算法计算出正确的结果，result 需要使用1 进行初始化。当函数在空列表上调用时，这将导致返回值1。

这个返回值对于函数的用途来说也是非常合理的。有了一个好的产品函数，如果你首先连接两个列表然后构建元素的乘积，或者你首先构建两个单独列表的乘积然后将结果相乘，这都无关紧要：

iproduct(xs + ys) == iproduct(xs) * iproduct(ys)

如果xs 或ys 为空，则仅在iproduct([]) == 1 时有效。

现在迭代器上更复杂的product()。同样，从数学的角度来看，product([]) 应该返回该操作的中性元素，无论它是什么。它不是[]，因为product([], xs) == []，而对于中性元素product([], xs) == xs 应该成立。但事实证明，[()] 也不是中性元素：

>>> list(product([()], [1,2,3]))
[((), 1), ((), 2), ((), 3)]

事实上，product() 根本不是一个非常好的数学产品，因为上面的等式不成立：

product(*(xs + ys)) != product(product(*xs), product(*ys))

产品的每个应用程序都会生成一个额外的元组层，并且无法绕过它，因此甚至不可能有一个真正的中性元素。 [()] 非常接近，它不会添加或删除任何元素，它只是为每个元素添加一个空元组。

[()]实际上是这个稍加修改的产品函数的中性元素，它只对元组列表进行操作，但不会在每个应用程序上添加额外的元组层：

def tproduct(*xss):
  # the parameters have to be lists of tuples
  return (sum(rs, ()) for rs in product(*xss))

对于这个函数，上面的乘积方程成立：

def tup(x): return (x,)
txs = [map(tup, x) for x in xs]
tys = [map(tup, y) for y in ys]
tproduct(*(txs + tys)) == tproduct(tproduct(*txs), tproduct(*tys))

通过将输入列表打包成元组的额外预处理步骤，tproduct() 提供与product() 相同的结果，但从数学角度来看表现更好。它的中性元素也是[()]，

所以[()] 作为这种列表乘法的中性元素是有意义的。即使它不完全适合product()，它也是此函数的一个不错选择，因为它允许定义tproduct()，而无需为空输入引入特殊情况。

Answer 2

正如@sth 已经指出的那样，从数学的角度来看，这种行为是正确的。您真正需要说服自己的是 list(itertools.product()) 应该只有一个元素，因为一旦您知道该元素应该是什么就很清楚了：它必须是（为了保持一致性）长度为 0 的元组，并且只有一个其中。

但是itertools.product(l1, l2, l3, ...) 的元素个数应该只是l1, l2, l3, ... 的长度的乘积。所以itertools.product()的元素个数应该是empty product的大小，网上不乏可以说服你空积是1的资源。

我只是想指出这是正确的实用定义以及正确的数学定义；也就是说，它是最有可能在边界情况下“正常工作”的定义。例如，假设您要生成由十进制数字组成的长度为n 的所有字符串，且第一个数字非零。你可能会这样做：

import itertools

def decimal_strings(n):
    """Generate all digit strings of length n that don't start with 0."""
    for lead_digit in '123456789':
        for tail in itertools.product('0123456789', repeat=n-1):
            yield lead_digit + ''.join(tail)

n = 1 时会产生什么？好吧，在这种情况下，您最终会用一个空产品 (repeat = 0) 调用 itertools.product。如果它什么都不返回，那么上面的内部for 循环的主体将永远不会被执行，所以decimal_strings(1) 将是一个空迭代器；几乎可以肯定不是你想要的。但是由于itertools.product('0123456789', repeat=0) 返回一个元组，你会得到预期的结果：

>>> list(decimal_strings(1))
['1', '2', '3', '4', '5', '6', '7', '8', '9']

（当n = 0，当然，这个函数正确地引发了一个ValueError。）

因此，简而言之，这个定义在数学上是合理的，而且通常不是您想要的。这绝对不是 Python 错误！