atan如何出现在haversine公式中？答案

【问题标题】：How does atan appear in haversine formula?atan如何出现在haversine公式中？
【发布时间】：2023-03-06 03:37:01
【问题描述】：

我对此有点陌生。我最近将数学方程式转换为代码。所以我开始练习简单的公式，比如斐波那契数和半正弦公式。

但我对以下参考文献中的半正弦代码有点困惑；

一般来说，他们所做的是，

var R = 6371e3; // metres
var φ1 = lat1.toRadians();
var φ2 = lat2.toRadians();
var Δφ = (lat2-lat1).toRadians();
var Δλ = (lon2-lon1).toRadians();

var a = Math.sin(Δφ/2) * Math.sin(Δφ/2) +
        Math.cos(φ1) * Math.cos(φ2) *
        Math.sin(Δλ/2) * Math.sin(Δλ/2);
var c = 2 * Math.atan2(Math.sqrt(a), Math.sqrt(1-a));

var d = R * c;

我有原始haversine formula from here的参考。

那么，注意这一行，

var c = 2 * Math.atan2(Math.sqrt(a), Math.sqrt(1-a));

其中哪一部分来自维基百科中的原始半正弦公式？我在这些图表上根本没有找到任何切线。我在这里错过了什么吗？任何建议表示赞赏。

【问题讨论】：

标签： trigonometry haversine

【解决方案1】：

根据定义

hav(θ)=sin²(θ/2)

如果有(θ)=a，那么

θ = 2 arcsin(sqrt(a))

expressing arcsine with arctangent 之后，变成：

θ = 2 arctan(sqrt(a)/(sqrt(1-a)))

更新澄清回应 OP 的评论：

某个角度 θ 的半正弦函数 hav(θ) 是 sin²(θ/2) 的简写。给定球体上的两个点，θ 是连接这些点与球体中心的半径之间的平面角，haversine 公式表示具有这些点的纬度 (φ) 和经度 (λ) 值的 hasrsine 函数。因此，您可以通过已知值 φ 和 λ 计算 hasrsine 函数的值（在代码中由变量 a 表示）。然后您可以从a 中找到 θ 的值（在您的代码中由变量 c 表示）。我上面的解释完全集中在那部分。然后使用已知的 θ 值（和半径 R），您可以计算大圆距离 d。

【讨论】：

感谢您的回答。但我相信hav(θ)=sin2(θ/2) 在将变量分配给a 时充当样本中的Math.sin(Δφ/2) * Math.sin(Δφ/2) 或Math.sin(Δλ/2) * Math.sin(Δλ/2) 中的haversine 函数。这不是atan 的来源。
@choz 我在回答中添加了一个说明
我现在明白了。当您可以说“哦..文档说要通过应用逆半正弦（如果可用）或使用反正弦（反正弦）函数以及顺便说一句Math.asin(Math.sqrt(a)) = Math.atan2(Math.sqrt(a), Math.sqrt(1-a));”来解决d时，为什么一切都必须变得复杂...无论如何谢谢:)

【解决方案2】：

这只是 Haversine 公式的另一种表述。

来自https://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_trigonometric_functions#Relationships_among_the_inverse_trigonometric_functions：

arctan(x) = arcsin(x / sqrt(x^2 + 1))

使用X = x / sqrt(x^2 + 1)，您最终会得到：

x = X / sqrt(1 - X^2)

因此：

arcsin(X) = arctan(X / sqrt(1 - X^2))

然后在维基百科的Haversine公式中：

d = 2R * arcsin(sqrt(a))
  = 2R * arctan(sqrt(a) / sqrt(1 - a))

【讨论】：