如何求解：f(n) = f(n-1) + 3*f(n-2) + 3*f(n-3) + f(n-4)

Question

我该如何解决

f(n) = f(n-1) + 3*f(n-2) + 3*f(n-3) + f(n-4) maximum value of n = 10^18 minimum is 1
initial conditions are
f(1) = 1
f(2) = 3
f(3) = 3
f(4) = 1

f(n) 什么时候可以很大？ print f(n) modulus 10000007

我对这个问题的尝试如下 （使用模数可能会出错）

1st test case:
3
2
5
9

output:
3
20
695
(working fine)

2nd tst case:
3
1554894
5959595
2562651

output:
7505501
9551828
6592801
(working fine)

但是对于更大的数字，程序会失败；为什么？

#!/usr/bin/python
T = int(raw_input())
def fib_iter(n):
    if n == 1:
        return 1
    if n == 2:
        return 3
    if n == 3:
        return 3
    if n == 4:
        return 1   
    prev1, prev2, prev3, prev4 = 1, 3, 3, 1

    i = 5
    while i < n+1:
        curr = (prev1%10000007 + 3*prev2%10000007 + 3*prev3%10000007 + prev4%10000007)%10000007
        prev1, prev2, prev3, prev4 = prev2%10000007, prev3%10000007, prev4%10000007, curr%10000007
        i = i + 1
    return curr%10000007

for t in xrange(T):
    n = int(raw_input())
    print fib_iter(n)

Answer 1

阅读this book，然后手工解决。

编辑： 当我被要求提供更多细节时：通过“求解”，我的意思是推导出一个直接给出系数 f(n) 的显式公式 [这样就没有递归必要的]。对于正常的斐波那契数列，这由比内公式给出。按照链接书中的食谱，您可以通过以下步骤完成：

1. 导出第 n 个系数的生成函数。基本上，这是通过考虑一个函数来完成的，该函数在所寻求的系数 f(n) 方面具有幂级数展开，并将这几个项组合成一个函数。

2. 给定生成函数，推导出单项式x^n前面的膨胀系数。由于您指定的生成函数最多包含四阶多项式，因此甚至可以通过解析来完成。

如果这里有一些数学模式，我会提供更多数学细节，如果运气好的话，我也会提供解决方案。但是就这样试试吧，它很简单，而且这本书可读性很好。

Answer 2

更新 - 尝试将循环中的这两行更改为：

    curr = (prev1 + 3*prev2 + 3*prev3 + prev4)%10000007
    prev1, prev2, prev3, prev4 = curr, prev1, prev2, prev3

模数为 10000007，n = 15616511848，你应该得到 5370032，正如你提到的。请注意，10000007 = 941 x 10627 并且不是素数。我不确定为什么选择它。通常这些类型的问题使用 1000000007 (7 + 10^9) 这是一个素数。

加速这个算法更多的是一个数学问题，而不是一个编程问题。其矩阵形式为：

       |  1  3  3  1 |
   a = |  1  0  0  0 |
       |  0  1  0  0 |
       |  0  0  1  0 |

       |  1 |
x[4] = |  3 |
       |  3 |
       |  1 |

x[i+1] = a x[i]

x[i+j] = a^j x[i]

可以使用重复平方来加快计算 a^j 的速度。

如果您对没有模数的 x[0] 到 x[4] 感到好奇。对于模数，将模数 (10000007) 添加到负数：

x[0] =  -14,  39, -73, 117
x[1] =    1, -14,  39, -73
x[2] =    3,   1, -14,  39
x[3] =    3,   3,   1, -14
x[4] =    1,   3,   3,   1

Answer 3

使用矩阵方法，执行变得非常快速和可靠。 http://x-perienceo.blogspot.in/

Answer 4

我写了一个更详细的答案here。

1. 重要的是要知道 1000007 是 素数。因此，您可以使用欧拉定理。欧拉定理指出，对于素数 p，a**x % p == a**y % p（Python 表示法）如果 x % (p-1) == y % (p-1)。

2. 尝试找到一个矩阵符号来计算任何 n 的 f(n)，而无需首先递归地计算 f(n-1) 等等。然后通过平方使用取幂来计算它（直到你的模，如上面 1. 中所述）。