欧拉计划 #29答案

【问题标题】：PROJECT EULER #29欧拉计划 #29
【发布时间】：2010-01-27 14:41:16
【问题描述】：

好吧，在用天真的 STL 集解决了这个problem 之后，我正在阅读论坛条目，在那里我找到了这个条目：

 #include <iostream>   
 #include <cmath> 
 #define MAX 100
 using namespace std;

 int main(){
    int res=(MAX-1)*(MAX-1);
    for(int i=2;i<MAX;i++)
        for(int j=i*i;j<=MAX;j=j*i)
            res = res-int(MAX*(log(i)/log(j)))+1;
     cout<<res<<endl;
     return 0;
  }

作者的解释： Maximum will be 99*99. I subtracted occurrences of those numbers which are powers of some lower numbers (2-100): - For example: - 4^2,4^3,4^4 (i.e. 3 should be subtracted) as they will be duplicates from lower number powers as in 2^4,2^6,2^8

这个程序给出了正确的答案check here，但我无法得到实现的逻辑，确切地说我没有得到如何确定重复项。有人可以帮忙吗？

【问题讨论】：

static const int Max = 100; 会更好。 C++ 程序员使用#define 的常量，tsk tsk。
那不是我，我只是引用了作者的话：P
这个算法不起作用。尝试 MAX = 8 或 9。对于 8，它应该给出 44，但给出 45。对于 9，它应该给出 54，但给出 56。

标签： c++ algorithm math

【解决方案1】：

我可能遗漏了一些东西，但在我看来，这个程序给出了错误的答案。差一分了如果我将MAX 设置为 10，它会减少 2。

我读到一些玩家喜欢生成近似答案，然后对 Project Euler 服务器进行字典攻击以暴力破解问题。其他玩家则认为这与事情的精神背道而驰。

无论如何——这样的算法（从 N*M 开始并消除重复项）是解决问题的正确方法，但正如我所写的那样，这段代码对我来说没有多大意义。请注意，无论如何int(MAX*(log(i)/log(j))) 对舍入误差非常敏感；但即使你通过使用整数运算消除了错误的来源，程序仍然给出错误的答案。

编辑：我们如何（正确）计算重复项？

首先你必须明白，只有当它们具有相同的素数分解时，它们才相同。所以只会有重复 a₁^b₁ = a₂^b₂ 当a₁ 和 a₂ 是同一整数的不同整数幂，我将其称为 x。例如，

9⁷ = 3¹⁴;这是可能的，因为 9 和 3 都是 3 的幂。
8⁶ = 4⁹;这是可能的，因为 8 和 4 都是 2 的幂。

所以我们已经确定对于所有重复，a₁ = x^e₁ 和 a₂ = x^e₂ 对于一些整数 x、e₁ 和 e₁.

然后用一点代数，

a₁^b₁ = a₂^b₂

x^e₁b₁ = x^e₂b₂

e₁b₁ = e_2子>b₂

回到前面的例子，

9⁷ = 3¹⁴ 因为 2×7 = 1×14。
8⁶ = 4⁹ 因为 3×6 = 2×9。

因此，要查找任何给定 x 的所有重复项，您只需要查找更简单的表达式 eb 的重复项，其中 2 ≤ xe ≤ 100 和 2 ≤ b ≤ 100。

这是一个更简单问题的图片，x=3 和 b 的范围仅从 2 到 10。我标记了两个重复的地方。

e=1  a=3    *********
e=2  a=9      * * * * * * * * *
e=3  a=27       *  *  *  *  *  *  *  *  *
e=4  a=81         *   *   *   *   *   *   *   *   *
                  |               |
        1*8 = 2*4 =  4*2         3*8 = 4*6
        3^8 = 9^4 = 81^2        27^8 = 81^6

这里是重复的：

e=1  a=3    *********
e=2  a=9      x x x x * * * * *
e=3  a=27       x  x  x  *  x  *  *  *  *
e=4  a=81         x   x   x   x   x   *   *   *   *

您发现的 C++ 程序试图通过访问每对重叠的行 i 和 j 来计算它们，并计算行 i 与行 j 重叠的数量。但同样，除非我遗漏了什么，否则该程序似乎非常不精确。而且它完全遗漏了一些行对（你永远不会有 i=9 和 j=27，或者 i=27 和 j=81）。

【讨论】：

您能解释一下重复项是如何计算的吗？
代码给出了正确的答案，检查一下：ideone.com/Kcuc2BGu
nthrgeek：它在我的机器上给出了 9182。我已经更新了帖子，详细解释了我认为该程序试图做什么以及它出错的一个原因。
如果消除舍入误差，它会产生 9182，即减一。 ideone.com/WSXVJEOD
我一直在努力解决这个问题，试图实现相同的方法，直到我看到你的解释。谢谢。

【解决方案2】：

首先，它在第6行将res设置为99*99，因为MAX被定义为100。然后它进入一个循环，条件是i小于MAX。然后它进入这个伪代码循环

int i;
int j;
int x=2;

for( j = i²; j x)
{
res = res- (MAX* ( ^jlog(i) )+1;
x++;
}

对不起，上面没有使用<pre><code>；但如果我这样做了，我将无法使用<sup>

请注意log(a)/log(x) 与 ^xlog(a)

相同

因为<sup> 在那里不起作用，所以提出问题：

²log(2) = 1 因为 2¹ = 2
²log(4) = 2 因为 2² = 2
日志(x) == ¹⁰日志(x)
日志(10) = 1

^glog(x) = y => g^y = x

【讨论】：

b^a 的反面。 b 是地面。当离开时，假设地面为 10：因此 10log(10) 将返回 1，因为 10^1 = 10，并且 2log(2) 将返回 1，因为 2^1 = 2 和 2log(4) 将返回 2，因为2^2 = 4
抱歉不能在评论区使用html，所以不能上标
好吧，我放弃了。我知道他在做什么，但为什么在我头上。对不起nthrgeek
嘿别那么轻易放弃.. :)

【解决方案3】：

嗯，问题涉及组合从一个范围中选择的两个数字的方法。有 99 个可能的数字，所以组合的数量是 99 * 99，可能有重复。他这里的基本算法是找出存在多少重复项，然后从最大值中减去该值。

至于计算重复项，根据主要因素来直观地考虑数字可能会有所帮助。将数字提高到整数幂意味着将其与自身相乘；因此，表示为素数列表，这相当于简单地连接列表。例如，6 是 {2, 3}，所以 6^3 将是 {2, 2, 2, 3, 3, 3}。请注意，如果您计算每个素数在列表中出现的次数，x^n 将始终与 x 具有 相同的比例，例如 6^n 将具有相同数量的 2 和 3。因此，范围内任何两个素数比例相同的数都必须是某个数的幂。

因此，在完整列表中，每个不同比例的素数将重复出现 x^2, x^3, x^4..., (x^3)^2, (x^3)^4 ...、(x^4)^2... 等，其中 x 是具有该比例的最小数；更准确地说，(x^m)^n 其中 (x^m) n)，因此计数重复等于计算 x^(mn) 也可以

【讨论】：

【解决方案4】：

有（至少）两种方法可以解决这个问题。一种是从 0 开始计算不同值，并为每个以前未见过的计算值添加一个。另一种方法是计算值的最大个数，然后每重复一个就减去一个。

发帖人正在尝试第二种方法。对于 99 个值，a 的范围可以从 2 到 100，b 也可以，因此产生了 99 * 99 个值。然后，发帖人尝试减去重复值以获得正确答案。

编辑：但是，发帖人写了一个不正确的算法。例如，设置MAX = 8 或9。对于8，它应该给44，但它给45。对于9，它应该给出54，但给出56。要么他们运气好，遇到了一个算法，它为某些输入提供了正确的答案，要么他们逆向设计了一个在 MAX = 100 时有效但不适用于所有其他值的算法。

【讨论】：