改进冒泡排序的运行时间分析答案

【问题标题】：Running Time Analysis of Modified Bubble Sort改进冒泡排序的运行时间分析
【发布时间】：2012-09-21 00:00:32
【问题描述】：

我正在做一项家庭作业，要求我找出修改后的冒泡排序对大小为 n 的数据集进行的比较次数。要考虑的数据集是一个排序列表，其中第一个和最后一个元素被交换，例如：52341。下面是算法的伪代码：

i <- n-1; new_i <- i
while i > 0 do 
    for j=1 to i do
        if A[j] > A[j+1] do
            A[j] <=> A[j+1]
            new_i <- j
        endif
    endfor
    i <- new_i - 1; new_i <- i
endwhile

A 是数据集，是交换。

我正在尝试找到一种方法来表示该算法，并将求和简化为对给定类型数据集的比较量的表达式。

如果不给出答案，谁能把我推向正确的方向？

【问题讨论】：

拿一张纸，根据你提供的数据一步一步地“执行”那个算法，这真的很有帮助。

标签： algorithm analysis bubble-sort

【解决方案1】：

在您的冒泡排序实现中，比较次数完全由输入的大小单独决定，即输入列表中元素的顺序无关紧要。

如果你能证明这一点（这不是很难），计算一个大小为 N 的输入列表的比较次数就足够了。由于我们已经证明顺序无关紧要，这又相当容易：

我们有两个循环，外部while 循环和内部for 循环。外部循环从 n 到 1（或 n-1 到 0，但肯定不是从 n-1 到 1，正如您的代码所建议的那样），即我们有 N 次迭代。内循环从 1 到 i。

因此，我们在外循环的第一次迭代中有 N 次比较，第二次中有 N-1 次，第三次中有 N-2 次，...，第 N-N 次中有 0 次。

我想你是一个人走了这么远。不然你就完蛋了。

您的老师现在想看到的是您知道以下公式，即所谓的“Gaußsche Summenformel”，也称为“Gauss Sum”：

N + (N-1) + (N-2) + ... + (N-N+1) + (N-N) = N^2/2 + N/2

所以你应该在这里做的是：

显示比较次数仅取决于输入的大小
显示比较次数等于 N + (N-1) + (N-2) + ... + (N-N+1) + (N-N)
提到这和N^2/2 + N/2一样，指的是Mr. Gauß。

;-)

【讨论】：