计算while循环的运行时间[重复]答案

【问题标题】：Calculating running time of a while loop [duplicate]计算while循环的运行时间[重复]
【发布时间】：2018-10-17 19:03:16
【问题描述】：

我只是从算法开始，我试图找出下面 while 循环的运行时间，以 'n' 表示。

int k=1;
while(k<n-k){
k+=k;
}

这里 n>2。我知道 k 的值每次都会翻倍，并且循环只运行一次，一旦 k 值大于 n/2。但是我很难用“n”来表达。

【问题讨论】：

【解决方案1】：

值得列出重点：

基本问题是：我必须加倍k 多少次，直到 k 加倍 等于或大于 @987654325 @?

这很容易。这正是对数的工作原理。以号码2 为例。我必须翻倍多少次才能达到，比如说，1000？答案是 log₂1000 向上取整。

本质上，您的算法是log_2(n) - 1，这意味着您的算法以对数时间复杂度运行。

*正如 François Andrieux 在他的评论中正确陈述的那样，虽然这个陈述在数学上是正确的，但由于数据类型的表示限制，编程中并非总是如此。对于较大的ks，表达式2*k 可能会导致溢出并使整个表达式无效，而对于相同的输入，表达式k < n-k 将正常运行。

【讨论】：

虽然它不会改变答案的正确性，但我想指出，由于k 是signed int，2*k < n 并不完全等同于k < n-k，因为如果n 足够大，第一个表单可能会溢出。
这是一个非常有效的观点，应该得到解决。我将很快将此评论添加到我的答案中。谢谢

【解决方案2】：

替换

  while(k<n-k)
     k+=k;

等价

  while(2*k<n)
    k*=2

最后一个肯定是O(log(n)) - 它使log2(n)-1 步骤

【讨论】：

【解决方案3】：

表达式k < n-k 简化为k < n/2。

时间复杂度应为O(log(n))，基数为 2

K = 1 -> 2 -> 4 -> 8 -> ... -> m iterations

2^(m-1) < n/2

m-1 < log2(n/2)

m ~ log2(n)

【讨论】：