快速排序时间复杂度[关闭]

Question

我最近阅读了有关时间复杂度的文章，发现快速排序的平均时间复杂度为 O(nlog(n))。

问题 1：我不明白的是，log(n) 是如何出现在时间复杂度方程中的？

问题 2：为什么我们总是使用 big O 符号来计算算法的时间复杂度？我们为什么不使用其他符号？

Answer 1

logn 是如何进入复杂度公式的？

• 对于每个步骤，您在前半部分和后半部分递归调用算法。

• 因此 - 所需的总步数是从n 到达1 所需的次数，如果您将问题每一步除以 2。
  所以你实际上是在寻找k 这样：

  n / 2 /2 / 2 / ... /2 = 1
          ^
       (k times) 
  

  但是，请注意，等式实际上是：n / 2^k = 1。由于2^logn = n，我们得到k = logn。所以算法需要的步数（迭代）是 O(logn)，这将使算法O(nlogn) - 因为每次迭代都是O(n)。

注意：这里的复杂性并不精确，在极少数情况下快速排序会衰减到O(n^2)，这取决于枢轴选择。 “将问题每步除2”是一种简化，但不会改变算法的平均分析。

为什么要使用大 O 符号？
它简单且独立于平台。
op（有时甚至是比较）的确切数量取决于平台。 （如果指令集 A 比指令集 B 更丰富，它可能需要更多操作）。
这绝对不是 only 使用的方法。对于现实生活中的应用程序，确切的运行时间（以秒为单位）是非常重要的因素，并且经常被使用。

因此，简而言之 - 大 O 表示法使我们易于计算 - 算法将如何渐近（在无穷大处）表现的独立于平台的近似，它可以将算法的“家族”划分为其复杂性的子集，让我们轻松比较它们。

另外，使用的其他符号是small o, theta and big/small omega。

Answer 2

问题1.快速排序的最坏情况时间复杂度是O(n^2)，而平均情况复杂度是O(nlogn)。 logn 因子取决于枢轴，算法如何选择它。

快速排序最坏情况的时间复杂度发生在枢轴产生两个区域，一个元素大小为 1，另一个元素大小为 (n-1) n/2.

所以产生的递归关系是T(n)=2T(n/2)+Θ(n)。

                  f(n)=Θ(n)     
                  h(n)=n^log2(2)=>n 
                  since f(n) = h(n) so
                  T(n)= f(n)logn =>n(logn).

（这里我们使用 Θ 表示法，因为快速排序的最坏情况复杂度（大 O）是 O(n^2)，这里我们计算的是平均情况复杂度。）

问题 2. 我们使用大 O 表示法，因为它给出了最坏情况时间复杂度的概念，即使参数趋于无穷大，它也会限制算法，这意味着算法至少会在这个时间复杂度下运行并且不能超过它。

而还有其他符号，例如小 o、theta 和大/小 omega，由于应用有限，因此经常使用。

Answer 3

请阅读Introduction to Algorithms by Cormen et al。在第 3 章中，您将找到关于算法复杂性分析的一个很好的解释。您会发现 Big O 并不是唯一使用的渐近符号。

Answer 4

尽管这更多是关于计算机科学的一般问题，但问题上的 cmets 可以更彻底地解释 --

问题 1：log(n) 表示问题的扩展率比 O(n) 问题高一个因子 log(n)。小于 n*log(n) 的项（如 n）被省略，因为它们的缩放比最大项慢。

问题2：还有其他指标，O（大O）是问题扩展的最坏情况率。请参阅 cmets 中的书籍链接以了解其他内容/意思，因为那里有更好的解释。