给定大小的非相邻集的数量

Question

如果给定集合L={1,2,3,...,N} 和整数k，是否可以有效地计算大小为k 的“非相邻”子集的数量？如果S 中的每个x 不相邻，则子集S 不相邻，x-1 和x+1 都不在S 中。

例如，对于 L={1,2,3,4} 和 k=2，答案是 3，因为我们有 {1,3},{1,4},{2,4}。对于k=3，答案为零。

一种方法是生成所有大小为 2 的非相邻子集，然后尝试所有可能的并集（因为非相邻集具有其所有子集都不相邻的属性），但这让我很震惊浪费，并且可能有一个优雅而有效的解决方案。

Answer 1

这样想：如果您知道集合L'={1, 2, 3, ..., N - 1} 的答案是什么，您能否使用该信息来构建集合L 的答案？ 这个想法是，当您将N 添加到L' 时，新的解决方案由L' 可用的所有子集加上小于或等于@987654327 的L' 的每个元素的1 个新子集组成@，所以如果L' 的解决方案的大小为V'，那么V L 的解决方案将是V = V' + (N - 2*(k - 1))
如果你再计算一下，你会发现解可以表示为第一个N - 2k + 2自然整数之和。

关于小于或等于N - 2*(k - 1)部分，被添加的新数字N只会添加到最终数字小于或等于该表达式结果的子集中，因为其中必须有k元素正在构建的新子集（包括数字 N 本身，因此需要更多 k - 1）彼此之间至少间隔 2 个数字，这使得 2*(k - 1) 与数字 N 的距离为所以表达。

Answer 2

这可能与 Win32 的解决方案相同，但我不确定。所以我单独发布。

取 S(n) 为大小为 n 的连续序列的非相邻子集的数量（即 S(n) 是您正在寻找的解决方案）。

让我们计算 S(n+1)，当我们向序列中添加一个元素时的值。当我们添加一个元素 k 时，我们会增加该序列的非相邻子集的数量。我们可以将这些新子集分为以下几类。

• 仅包含我们添加的新元素的子集。只有其中之一 ({k})。
• 我们可以添加 k 并且仍然保留我们的非相邻标准（加上 k）的子集。我们可以将 k 添加到任何不包含 k-1 的子集，同时保持非邻接。另一种说法是，我们可以将 k 添加到最多包含 k-2 的子集中。最多包含 k-2 个子集的个数等于 S(n-1)。

所以当我们将 k 添加到我们的序列时，新的不相邻子集的数量是 1 + S(n-1)。换句话说，1 + S(n-1) = S(n+1) - S(n)。我们可以重新排列这个公式，得到 S(n+1) = 1 + S(n-1) + S(n)。

递归解决方案不是很有帮助，因此我们可以尝试对其进行概括。我不擅长这一步，但是Wolfram|Alpha is，我们发现通式等于以下。

• S(n) = 1/2 * (3 * Fib(n) + Lucas(n) - 2)

以下是一些示例数据点。

n | S(n)
0 | 0
1 | 1
2 | 2
3 | 4
4 | 7
5 | 12
6 | 20
7 | 33
8 | 54
9 | 88

Answer 3

用S(m,n) 表示{1,...,n} 中大小为m 的不相邻子集的数量。那么以下成立：

S(m,n) = S(m,n-1) + S(m-1,n-2)

所以可以通过O(Nk)中的DP解决它，通过添加边界条件

S(1,n) = n
S(m,1) = I(m==1)
S(m,2) = 2*I(m==1)

其中I() 是指标函数。

Answer 4

让：

S(n,k) 是大小为k 的{1,...n} 的不相邻子集的集合

显然，S(n-1,k) 是一组大小为 k 的不相邻子集，它是 S(n,k) 的子集。

另外，S(n-2,k-1) 是一组大小为k-1 的不相邻子集，并且这些子集都不包括n-1。因此，我们可以安全地将{n} 添加到每个子集中，以获得大小为k 的子集。而且由于它们不包括n-1（与n 唯一相邻的元素），它们也是不相邻的。

因此：

S(n,k) = S(n-1,k) U ({n} X S(n-2,k-1))

使用一些实数，让我们尝试求解S(6,3)。

S(6,3) = S(5,3) U ({6} X S(4,2))
 S(5,3) = {1,3,5}                   # Only one solution
  S(4,2) = S(3,2) U ({4} X S(2,1))
   S(3,2) = {1,3}                   # Only one solution
    S(2,1) = {1} {2}                # All sets of 1 element are non-adjacent
   {4} X S(2,1) = {1,4} {2,4}       # Add {4} to each
  S(4,2) = {1,3} {1,4} {2,4}
 {6} X S(4,2) = {1,3,6} {1,4,6} {2,4,6}
S(6,3) = {1,3,5} {1,3,6} {1,4,6} {2,4,6}

哪个符合你的答案。

现在，计算数字：

设N(n,k)为S(n,k)中的元素个数

然后：

N(n,k) = N(n-1,k) + N(n-2,k-1)

我还没有确定封闭形式，但这里有一些计算值：

 n    k=1   k=2   k=3   k=4   k=5   k=6   k=7   k=8   k=9  k=10  k=11  k=12  k=13
 1     1                                                                        
 2     2                                                                        
 3     3     1                                                                  
 4     4     3                                                                  
 5     5     6     1                                                            
 6     6    10     4                                                            
 7     7    15    10     1                                                      
 8     8    21    20     5                                                      
 9     9    28    35    15     1                                                
10    10    36    56    35     6                                                
11    11    45    84    70    21     1                                          
12    12    55   120   126    56     7                                          
13    13    66   165   210   126    28     1                                    
14    14    78   220   330   252    84     8                                    
15    15    91   286   495   462   210    36     1                              
16    16   105   364   715   792   462   120     9                              
17    17   120   455  1001  1287   924   330    45     1                        
18    18   136   560  1365  2002  1716   792   165    10                        
19    19   153   680  1820  3003  3003  1716   495    55     1                  
20    20   171   816  2380  4368  5005  3432  1287   220    11                  
21    21   190   969  3060  6188  8008  6435  3003   715    66     1            
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