找到一个素数？答案

【问题标题】：Find a prime number?找到一个素数？
【发布时间】：2009-10-17 22:45:57
【问题描述】：

要确定 N 是否为素数，我们只需要查找所有小于或等于 sqrt(N) 的数。这是为什么？我正在编写 C 代码，因此试图了解其背后的原因。

【问题讨论】：

@ChssPly76：我认为这是一个完全有效的算法查询。
嗯...我正在编写代码来实现这一点。怎么又不编程了？
其实只需要检查素数
属于mathoverflow.net。
GMan：按照你的逻辑，algorithms、cryptography、compression 和一大堆其他标签中的几乎每个问题都是题外话。归根结底，编程是一门应用数学学科 - 如果问题是 “我如何证明我只需要测试数字 .

标签： c++ c algorithm

【解决方案1】：

如果 N 是一个正整数，并且可以被两个正整数 1 和 N 整除，则 N 是素数。由于一个数的除数不能大于该数，因此可以进行简单的素性检验：

如果大于 1 的整数 N 不能被[2, N-1] 范围内的任何整数整除，则 N 是素数。否则，N 不是素数。

但是，最好修改此测试以使其更快。所以让我们调查一下。

注意 N 的除数成对出现。如果 N 能被一个数 M 整除，那么它也能被 N/M 整除。例如，12 可以被 6 整除，因此也可以被 2 整除。此外，如果 M >= sqrt(N)，则 N/M <= sqrt(N)。

这意味着如果没有小于或等于sqrt(N)的数能整除N，那么也没有大于sqrt(N)的数能整除N（除了1和N本身），否则就会产生矛盾。

所以我们有一个更好的测试：

如果大于 1 的整数 N 不能被[2, sqrt(N)] 范围内的任何整数整除，则 N 是素数。否则，N 不是素数。

如果你考虑上面的推理，你应该看到一个通过这个测试的数字也通过了第一个测试，一个没有通过这个测试的数字也没有通过第一个测试。因此，这些测试是等效的。

【讨论】：

【解决方案2】：

一个合数（非素数，或 1）至少有 1 对因数，并且保证每对数中的一个数小于或等于该数的平方根（即就是你要问的）。

如果你对数字平方根，你会得到数字本身（sqrt(n) * sqrt(n) = n），所以如果你让其中一个数字更大（比sqrt(n)），你必须让另一个数字更小。如果您只检查数字 2 到 sqrt(n)，您将检查所有可能的因素，因为这些因素中的每一个都将与大于 sqrt(n) 的数字配对（当然，如果该数字是其他数字的平方，例如 4、9、16 等...但这没关系，因为您知道它们不是素数；它们很容易被 sqrt(n) 本身分解）。

【讨论】：

【解决方案3】：

原因很简单，任何大于 sqrt 的数，都会导致另一个乘数小于 sqrt。在这种情况下，你应该已经检查过了。

【讨论】：

【解决方案4】：

令n=a×b为复合物。

假设 a>sqrt(n) 和 b>sqrt(n)。

a×b > sqrt(n)×sqrt(n)

a×b > n

但是我们知道a×b=n，因此an) 或 bn).

既然你只需要知道a或b就可以显示n是合数，你只需要检查直到sqrt( n) 来找到这样的数字。

【讨论】：

【解决方案5】：

因为在最坏的情况下，数字n 可以表示为a²。

如果数字可以用不同的方式表示，那么除数之一将小于a = sqrt(n)，但另一个可以更大。

【讨论】：