找到一个数字“内”的最大素数答案

【问题标题】：Finding the largest prime number "within" a number找到一个数字“内”的最大素数
【发布时间】：2014-01-16 02:41:20
【问题描述】：

对于这个问题，我需要在一个较大的数字中找到最大的质数。出于示例的目的，假设较大的数字是“123456789”，那么我必须检查的一些数字是 12、456、234567 等。

我写了一些 Python 代码来解决这个问题，但是对于我要检查的数字，它运行得非常慢。我正在使用的实际数字约为 10000 位，因此我需要查看很多数字。这是我的代码：

num = "123456789"

def isPrime(n):
# 0 and 1 are not primes
if n < 2:
    return False
# 2 is the only even prime number
if n == 2:
    return True
# all other even numbers are not primes
if not n & 1:
    return False
# range starts with 3 and only needs to go up the squareroot of n
# for all odd numbers
for x in range(3, long(n**0.5)+1, 2):
    if n % x == 0:
        return False
return True

def largestPrime():
    largest = 2
    for i in range(0,len(num)):
        for j in range(i+1,len(num)):
            if isPrime(long(num[i:j])):
                if long(num[i:j]) > largest:
                    largest =long(num[i:j])
    print largest

def main():
    largestPrime()

main()

我很确定这段代码给出了正确的答案，但正如我所说，它真的很慢。谁能帮我弄清楚如何加快速度？

感谢您的帮助！

【问题讨论】：

一个明显的改进：将if isPrime...if > largest 重新排列为if >largest...if isPrime，因此您只检查它是否是质数，如果它大于您迄今为止找到的最大质数（如果它更小，您不会'不在乎它是否是素数）。
有许多主要测试算法比您编写的幼稚算法更有效。特别是如果你可以接受误报——你可以；您所要做的就是保留最大的“可能是素数”数字的排序列表，然后最后对最大的数字进行缓慢但保证正确的测试。当然，您需要做一些研究来选择最适合您需求的算法。
您的主要检测算法是主要瓶颈。仅用他的算法找出整个 10000 位数字是否是素数就需要一段时间。查看en.wikipedia.org/wiki/Primality_test 以获得更好的测试。
附带说明，以largest=2 开头是一个非常小的优化，考虑到这意味着您可能会得到不正确的值（例如，在100000000000 上尝试...），我不知道觉得值得。
最后，在一堆算术上做一个紧密的循环正是 Python 不擅长的。如果可能的话，您想将内部循环（isPrime）推入 C 中。通过在 Cython 中编写它很容易做到这一点。或者，有一些巧妙的方法可以将大量数字的算术转换为 numpy 数组的矢量化算术。或者只是在 PyPy 而不是 CPython 中运行您的代码——有时（并且每个版本更常见）它会设法将您的代码 JIT 到合理的速度。但是，在您获得 ZPP 或类似的易于处理的算法之前，请不要担心这一点。

标签： python performance optimization

【解决方案1】：

我可能会使用从总位数开始并查看它是否为素数的策略。然后继续将数字减一，同时向左移动以查看是否为素数。让我用一个例子来解释：

123456789

First check the 9-digit number: 123456789
Then check the 8-digit numbers: 23456789, 12345678
Then Check the 7-digit numbers: 3456789, 2345678, 1234567
etc.

【讨论】：

【解决方案2】：

我看到的一个问题是，对于一些大数字，您将多次测试相同的数字。例如对于“123456712345671234567”，您的代码将测试“1234567”3 次。我建议您制作一个不包含重复项的集合，然后对每个数字进行主要测试。我也认为对数字进行排序是个好主意，因为我们可以在找到第一个素数后停止。

接下来，如果您要处理大量数字（例如 10000 位），我建议您使用统计素数检验。下面我使用来自wikipedia 的伪代码进行了 Miller-Rabin 素数测试。

我已经重写了你的代码：P

import random
num = '3456647867843652345683947582397589235623896514759283590867843652345683947582397589235623896514759283590784235876867843652345683947582397589235623896514759283590784235876867843652345683947582397589235623896514759283590784235876867843652345683947582397589235623896514759283590784235876867843652345683947582397589235623896514759283590784235876867843652345683947582397589235623896514759283590784235876867843652345683947582397589235623896514759283590784235876784235876324650'

def probablyPrime(num, k):
    """Using Miller-Rabin primality test"""
    if num == 2 or num == 3:
        return True
    if num < 2:
        return False
    if not num & 1:
        return False

    # find s and d such that n−1 = (2**s)*d with d odd
    d = (num-1) >> 1
    s = 1
    while not (d & 1):
        d = d >> 1
        s += 1

    # run k times
    for _ in range(k):
        a = random.randint(2, num-2)
        x = pow(a, d, num)  # more efficient than  x = a**d % num
        if not (x == 1 or x == num-1):
            for _ in range(s-1):
                x = (x**2) % num
                if x == 1:
                    return False
                if x == num-1:
                    break
            if not x == num-1:
                return False
    return True


def largestPrime(num):
    num_list = set([])
    for i in range(0,len(num)+1):
        for j in range(i+1,len(num)+1): 
            inum = int(num[i:j])
            # Don't append numbers that have already appeared
            if inum not in num_list:
                num_list.add(inum)

    # Convert to list and sort
    num_list = list(num_list)
    num_list.sort(reverse=True)

    for num in num_list:
        print('Checking ' + str(num))
        if probablyPrime(num,100):
            print('\n' + str(num) + ' is probably the largest prime!')
            return

largestPrime(num)

另一种提高速度的方法可能是 python 的multiprocessing 包。

【讨论】：

这个想法很好，但是列表对于这个问题来说是一个非常糟糕的数据结构。使用一组。
我同意 Voo 的观点。我更新了我的代码以使用 set。我已经用一些大数字测试了这个脚本，真正的减速似乎是当 isPrime() 处理 50+ 位数字时。我会考虑一个更好的主要测试，但即使是一个非常好的测试，我敢打赌一个 10000 位的数字也需要很长时间。

【解决方案3】：

代码：

def isprime(n):
    if n == 2:
        return str(n)+" is the biggest prime"
    if n % 2 == 0:
        return isprime(n-1) #not prime, check again for next biggest number
    max = n**0.5+1
    i = 3
    while i <= max:
        if n % i == 0:
            return isprime(n-1) #not prime, check again for next biggest number
        i+=2
    return str(n)+" is the biggest prime"

print "Testing 7:",isprime(7)
print "Testing 23:",isprime(23)
print "Testing 2245:",isprime(2245)
print "Testing 222457:",isprime(222457)
print "Testing 727245628:",isprime(727245628)

输出：

>>> 
Testing 7: 7 is the biggest prime
Testing 23: 23 is the biggest prime
Testing 2245: 2243 is the biggest prime
Testing 222457: 222437 is the biggest prime
Testing 727245628: 727245613 is the biggest prime

【讨论】：