在两个顶点之间的无向图中查找特定边答案

【问题标题】：Finding a specific edge in an undirected graph between two vertices在两个顶点之间的无向图中查找特定边
【发布时间】：2014-06-11 10:45:33
【问题描述】：

我正在尝试使用图论编写一个抽象算法。

给定一个无向无权图 G=(V,E)，两个顶点：m,n∈V 和一条特定边 e∈E。我想检查边 e 是否是 m 和 n 之间所有最短路径的一部分。

我的算法：

从 m 开始执行 BFS 扫描，直到到达 n。 \\O(V+E)
int temp
布尔 ret \\ O(1)
从 G 中取出边 e。\\O(1)
从 m 开始 BFS 扫描直到到达 n \\ O(V+E)
- 如果 d[n] = ∞, ret
- 如果 d[n] == temp, ret
- 如果 d[n] > temp, ret
将边 e 返回到 G.\\O(1)
返回 ret

时间复杂度分析： O(V+E)

内存分析： temp 和 ret 额外的 O(2)。

你说什么？它是正确的，还是您有一个时间复杂度更低的更好主意？

【问题讨论】：

【解决方案1】：

不会是 O(V+E)。广度优先搜索中最坏的情况是每条边都已搜索完毕，此时如果尚未找到节点，则搜索失败。这使得这部分的复杂度为 O(|E|)，因为这是主要的计算，所有其他的 O(1)，复杂度为 O(|E|)。

【讨论】：

【解决方案2】：

您的算法似乎是正确的，并且确实会发现 e 是否参与了所有未加权最短路径。

证明：

如果e 在所有最短路径中-> 删除e 将否定这一切路径 -> 新的最短路径将比旧路径更长 -> 算法得出正确答案。
如果e 没有参与某个最短路径（让它成为p）-> 通过删除e，路径p 仍然存在，因此从m 到n 的最短距离保持不变 -> 算法得出正确答案。

然而，你的记忆分析是错误的。

BFS 需要 O(V) 额外空间，用于访问集 - 所以额外空间是 O(V)

【讨论】：