给定平面上的一些点（最多 500 个点），没有 3 个共线。我们必须确定其顶点来自给定点并且其中包含恰好 N 个点的三角形的数量。如何有效地解决这个问题？朴素的 O(n^4) 算法太慢了。有更好的方法吗？
【问题讨论】：
标签： math geometry computational-geometry combinatorics triangle-count
您可以尝试将三角形视为三个半空间的交集。要找到三角形 A、B、C 内的点数，首先考虑沿 AB 方向的无限线一侧的点集。让这些集合 L(AB) 和 R(AB) 用于左右的点。同样，您对其他两条边也一样，并构建集合 L(AC) 和 R(AC) 以及集合 L(BC) 和 R(BC)。
所以 ABC 中的点数将是 L(AB)、L(AC) 和 L(BC) 交点处的点数。 （根据三角形的方向，您可能需要考虑 R(AB)）。
现在，如果我们要考虑全套 500 点。首先取所有点 AB 对并构造集合 L(AB) 和 R(AB)。这将需要 O(n^3) 次操作。
接下来我们测试所有三角形并找到三个集合的交点。如果我们对集合使用一些哈希表结构，那么找到交点就像一个哈希表查找。如果 L(AB) 有 l 个元素，L(AC) 有 m 个元素，L(BC) 有 n 个元素。说 l > m > n。对于 L(BC) 中的每个点，我们需要在 L(AC) 和 L(BC) 中进行查找，这样最多可以查找 2n 个哈希表。
考虑使用几何查找表可能会更快。 将您的整个域划分为一个粗略的网格，例如 10 x 10 网格。然后我们可以将每个点放入一个集合 G(i,j)。然后我们可以将集合 L(AB) 拆分为每个网格单元。假设将这些集合称为 L(AB,i,j) 和 R(AB,i,j)。在测试交叉路口时，首先要确定哪些网格单元位于交叉路口。这极大地减少了搜索空间，并且由于每个集合 L(AB,i,j) 包含的成员较少，因此哈希表查找也会减少。
【讨论】：
其实我最近碰巧遇到了类似的问题，但唯一的区别是大约有 300 分，我使用 bitset (C++ STL) 解决了它。对于每一对点，比如 (x[i],y[i]) 和 (x[j],y[j])，我形成了一个 bitsetB[i][j] 和 B[i] [j][k] 如果第 k 个点在从点 i 到点 j 的线段上方，则存储 1，否则我将存储 0。
现在以蛮力的方式，我得到三个点以形成一个三角形，比如说 (x[i],y[i]), (x[j],y[j]) 和 (x[k ],y[k])，那么如果 B[i][j][z]==B[i][j][k] && B[j] 则一个点，比如第 z 个点，将在三角形内[k][z]==B[j][k][i] && B[k][i][z]==B[k][i][j] 因为三角形内的点会显示相似的符号w.r.t.三角形的一侧作为三角形的第三个点（不在此侧的一个）。 所以我得到三个位集变量 P=B[i][j], Q=B[j][k] 和 R=B[k][i] 并在那里按位并应用 count() 函数给我有效位数，因此三角形内的点数。但是请确保您更改变量 P 使得它给出 B[i][j][k]=1 如果不是，然后按位不 (~) 这个变量。
虽然上述解决方案是针对特定问题的，但我希望它有所帮助。这是问题链接：http://usaco.org/current/index.php?page=viewproblem&cpid=660
【讨论】：