Matlab：帮助运行卡尔曼滤波器的工具箱

Question

我有一个 AR(1) 模型，其数据样本 $N=500$ 由随机输入序列 x 驱动。观测值 y 被零均值的测量噪声 $v$ 破坏。型号是

y(t) = 0.195y(t-1) + x(t) + v(t) 其中 x(t) 生成为 randn()。我不确定如何将其表示为状态空间模型以及如何估计参数 $a$ 和状态。我试过状态空间表示会是

d(t) = \mathbf{a^T} d(t) + x(t)

y(t) = \mathbf{h^T}d(t) + sigma*v(t)

西格玛 =2。 我无法理解如何执行参数和状态估计。使用下面提到的工具箱，我检查了 KF 的方程式是否与教科书中的方程式相匹配。但是，参数估计的方法是不同的。我将不胜感激有关实施程序的建议。

实施1： 我正在关注这里的实现：Learning Kalman Filter。该实现不使用期望最大化来估计 AR 模型的参数，而是找出过程噪声的协方差。就我而言，我没有过程噪音，而是输入 $x$。

实现 2：Kalman Filter by Kevin Murphy 是另一个使用 EM 对 AR 模型进行参数估计的工具箱。现在，这很令人困惑，因为这两种实现都使用不同的方法进行参数估计。 我很难找出正确的方法、状态空间模型表示和代码。应感谢有关如何进行的建议。

我运行了 KalmanARSquareRoot 技术的第一个实现，结果完全不同。正在执行指数移动平均平滑并使用长度为 30 的 MA 过滤器。如果我运行 Demo 示例，工具箱运行良好。但是在改变模型时，结果非常糟糕。也许我做错了什么。我需要为我的时间序列更改 KF 方程吗？

在第二个实现中，我无法弄清楚要更改方程式的内容和位置。

一般来说，如果我必须使用这些工具，那么我是否需要为每个时间序列模型更改 KF 方程？如果这些工具箱不适用于所有时间序列模型 - AR、MA、ARMA，我该如何自己编写方程式？

Answer 1

我对卡尔曼滤波器只有一点经验，所以对此持保留态度。

看来您根本不需要更改方程式。使用第二个包 (learn_kalman)，您可以创建大小为 [length(d(t)) length(d(t))] 的 A0 矩阵。 C0 是相同的，在您的情况下，初始状态可能是身份矩阵（与您的 A0 不同。您需要做的就是选择一个好的初始条件。

但是，我查看了您的系统（绘制了一个示例），似乎噪音在您的系统中占主导地位。 KF 是一个最佳估计器，但我不知道它会拒绝那么多噪声。它只保证降低协方差...这意味着如果您的系统主要受噪声支配，您将计算出一个错误的模型来估计您的系统给定噪声！

尝试绘制 [d f]，其中 d 是初始数据，f 使用回归公式 f(t) = C * A * f(t-1) 计算：

f(t) = A * f(t-1) ; y(t) = C * f(t)

也就是说，假装没有噪音但使用估计的 AR 模型。你会看到它拒绝了所有的噪音并且“技术上”很好地模拟了系统（因为唯一的独特行为是在一开始）。

例如，如果您有一个 A = 0.195、Q=R=0.l 的系统，那么您将收敛到 A = 0.2207，但仍然不够好。这里的问题是您的初始状态是如此之低，以至于在数据的几步内，您基本上处于 0 考虑噪声。自然地，KF 可以收敛到许多相似的模型解决方案。即使是最好的初始条件，任何噪音都会甩掉。

如果您以某种方式提高数据的分辨率（例如，更大的初始条件、更精细的时间步长），您会发现非常合适。例如，将初始条件更改为 110，您会发现两条曲线相似，但模型仍然相当不同。

我不知道有什么方法可以很好地为您的数据建模。如果噪声方差实际上是 1，并且您的系统很快收敛到 0，那么它似乎注定无法有效建模，因为您只是没有捕获数据集中的任何独特行为。