最短路径图算法帮助Boost

Question

我有一个矩形网格形状的 DAG，其中水平边缘始终指向右侧，垂直边缘始终指向下方。边缘具有与之相关的正成本。由于矩形格式，使用从零开始的行/列来引用节点。这是一个示例图：

现在，我要执行搜索。起始顶点将始终位于左列（索引为 0 的列）和图形的上半部分。这意味着我将选择起点为 (0,0)、(1,0)、(2,0)、(3,0) 或 (4,0)。目标顶点始终位于右列（索引为 6 的列）并且“对应”于起始顶点：

起始顶点(0,0)对应目标顶点(5,6)

起始顶点(1,0)对应目标顶点(6,6)

起始顶点（2,0）对应目标顶点（7,6）

起始顶点(3,0)对应目标顶点(8,6)

起始顶点(4,0)对应目标顶点(9,6)

我提到这个只是为了证明目标顶点总是可以到达的。这对我的实际问题可能不是很重要。

我想知道我应该使用什么搜索算法来找到从起点到终点的路径？我正在使用 C++ 并且可以访问 Boost Graph Library。

对于那些感兴趣的人，我正在尝试实施 Fuchs 在他的 Optimal Surface Reconstruction from Planar Contours 论文中提出的建议。

我查看了 A*，但说实话并没有理解它，也不是启发式的工作原理，甚至我是否能想出一个！

由于矩形形状和规则的边缘方向，我认为可能有一个非常适合的算法。我考虑过 Dijkstra

但我提到的论文说有更快的算法（但对我来说很烦人并没有提供实现），而且那是

单源，我想我想要单对。

Answer 1

所以，这是你的问题，

1. DAG 没有循环
2. 权重 > 0
3. 左重

您可以使用简单的详尽搜索来定义每条可能的路线。所以你有一个 O(NxN) 算法。然后你会选择最短的路径。这不是一个非常聪明的解决方案，但它是有效的。

但我想你想比这更聪明，让我们考虑一下，如果可以从两个节点到达特定节点，你可以找到两个节点上的最小权重加上到达当前节点的成本。您可以将其视为先前详尽搜索的扩展。

请记住，DAG 可以绘制成一条直线。对于DAG 线性化，here 是一个有趣的资源。

现在您已经定义了一个递归算法。

MinimumPath(A,B) = MinimumPath(MinimumPath(A,C)+MinimumPath(A,D)+,MinimumPath(...)+MinimumPath(...))

当然递归的起点是

MinimumPath(Source,Source)

当然是 0。 据我所知，boost 没有开箱即用的算法来做到这一点。但这很容易实现。

一个好的实现是here。

如果由于某种原因您没有 DAG，则应使用 Dijkstra 或 Bellman-Ford。

Answer 2

如果我没记错的话，从解释来看，这实际上是一个最佳路径问题，而不是搜索问题，因为目标是已知的。在优化中，如果您想要最佳路径而不是近似路径，我认为您无法避免进行详尽的搜索。

从论文看来，您实际上是在多次细分空间然后运行算法。这会使你的 N 在整个表面的情况下更接近一个常数，使 O(N^2) 不那么糟糕。

话虽如此，动态规划可能是一个很好的策略，其中 N 将受到起始节点和目标节点之间的差异的限制。这是基因组比对的示例。只是一个插图，让您了解它的工作原理。

构造一个 N × N 成本值数组，全部设置为 0 或某个默认值。

   #
   For i in size N:
      For j in size N:
          #cost of getting here from i-1 or j-1
         cost[i,j] = min(cost[i-1,j] + i edge cost , cost[i,j-1] + j edge cost)

填好表格后，从右下角开始。从你的目标出发，选择到达成本最低的节点。向后选择最小值，直到到达起始节点（或者更确切地说是与起始节点对应的数组条目）。这应该非常简单地为您提供最佳路径。

动态编程通过解决较小子问题的优化来工作。在这种情况下，子问题是到前面节点的最佳路径。我认为您的图表的矩形性质使其非常适合。