将 3D 下“三角形”中的元素映射到线性结构答案

【问题标题】：Mapping elements in 3D lower "triangle" to linear structure将 3D 下“三角形”中的元素映射到线性结构
【发布时间】：2015-03-12 22:58:34
【问题描述】：

这是现有 question 的 3D 版本。

形状为 (n,n,n) 的 3D 数组 M[x,y,z] 应映射到仅包含 xindex := x + (y+1)*y/2）。我试图推导出一些公式，但无法正确。请注意，向量内的元素顺序无关紧要。

【问题讨论】：

标签： arrays algorithm matrix indexing

【解决方案1】：

这是 user3386109 的答案的扩展，用于将形状为 (n,...,n) 的任意维度数组 d 映射到大小为 size(d,n) 的向量中，该向量仅包含索引满足 X_1 <= X_2 <= ... <= X_d 的元素。

【讨论】：

【解决方案2】：

方程的 3D 版本是

index := (z * (z+1) * (z+2)) / 6 + (y * (y+1))/2 + x

【讨论】：

太好了，谢谢！您能简要解释一下您是如何得出 6 的吗？看起来它很容易扩展到任意维度。
@neo 看来您可以将其扩展到其他维度。但是，我无法证明它适用于 4D。 3D 的公式可以从平方和推导出来，维基百科称之为 Square pyramidal numbers，这就是 6 的来源。
完成3D案例，能否给出输入数组为(n,n,n)时得到的向量的长度？
@neo 我相信这将是坐标(n,0,0) 的索引，即数组中not的第一个坐标的索引。因此size := (n * (n+1) * (n+2)) / 6
谢谢！我刚刚弄清楚了 4D 案例：index := (l * (l+1) * (l+2) * (l+3) )/24 + (k * (k+1) * (k+2))/6 + (j * (j+1))/2 + i 对应于M[i,j,k,l]，并且向量的大小为n*(n+1)*(n+2)/6*(n+3)/4。 24=6*4。

【解决方案3】：

如果有人感兴趣，这里是@letmaik 在 python 中的回答代码：

import math
from itertools import combinations_with_replacement

import numpy as np

ndim = 3  # The one you'd like
size = 4  # The size you'd like
array = np.ones([size for _ in range(ndim)]) * -1
indexes = combinations_with_replacement([n for n in range(size)], ndim)


def index(*args):
    acc = []
    for idx, val in enumerate(args):
        rx = np.prod([val + i for i in range(idx + 1)])
        acc.append(rx / math.factorial(idx + 1))
    return sum(acc)


for args in indexes:
    array[args] = index(*args)


print(array)

虽然我必须承认它可以改进，因为元素的顺序看起来不自然。

【讨论】：