我必须在只有以下数学工具的环境中实现 asin、acos 和 atan：
我也已经有了相当好的平方根函数。
我可以使用它们来实现相当有效的反三角函数吗？
我不需要太大的精度（无论如何，浮点数的精度非常有限），基本的近似值就可以了。
我已经决定使用表查找，但我想知道是否有更简洁的选项（不需要几百行代码就可以实现基本数学）。
编辑：
搞清楚：我需要以每秒 35 帧的速度每帧运行数百次函数。
【问题讨论】：
标签： algorithm math trigonometry
在定点环境（S15.16）中，我成功地使用了 CORDIC 算法（有关一般描述，请参见 Wikipedia）来计算 atan2(y,x)，然后从中导出 asin() 和 acos() - 涉及平方根的已知函数恒等式：
asin(x) = atan2 (x, sqrt ((1.0 + x) * (1.0 - x)))
acos(x) = atan2 (sqrt ((1.0 + x) * (1.0 - x)), x)
事实证明，在 double 上为 atan2() 找到 CORDIC 迭代的有用描述比我想象的要难。以下网站似乎包含足够详细的描述，并且还讨论了两种替代方法，多项式逼近和查找表：
http://ch.mathworks.com/examples/matlab-fixed-point-designer/615-calculate-fixed-point-arctangent
【讨论】：
arcsin(x) 函数需要较大的精度吗？如果不是，您可以在 N 个节点中计算 arcsin，并将值保存在内存中。我建议使用线近似。如果x = A*x_(N) + (1-A)*x_(N+1) 则x = A*arcsin(x_(N)) + (1-A)*arcsin(x_(N+1)) 其中arcsin(x_(N)) 是已知的。
【讨论】：
您可能想要使用近似值：使用 infinite series 直到解决方案对您来说足够接近。
例如：
arcsin(z) = Sigma((2n!)/((2^2n)*(n!)^2)*((z^(2n+1))/(2n+1))) where n in [0,infinity)
【讨论】：
http://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_trigonometric_functions#Expression_as_definite_integrals
您可以使用平方根函数进行数值积分，近似于无限级数：
【讨论】：
将以下代码添加到定点应该很容易。它使用rational approximation 来计算归一化为 [0 1) 区间的反正切（您可以将其乘以 Pi/2 以获得真正的反正切）。然后，您可以使用well known identities 从反正切中获取 arcsin/arccos。
normalized_atan(x) ~ (b x + x^2) / (1 + 2 b x + x^2)
where b = 0.596227
最大误差为0.1620º
#include <stdint.h>
#include <math.h>
// Approximates atan(x) normalized to the [-1,1] range
// with a maximum error of 0.1620 degrees.
float norm_atan( float x )
{
static const uint32_t sign_mask = 0x80000000;
static const float b = 0.596227f;
// Extract the sign bit
uint32_t ux_s = sign_mask & (uint32_t &)x;
// Calculate the arctangent in the first quadrant
float bx_a = ::fabs( b * x );
float num = bx_a + x * x;
float atan_1q = num / ( 1.f + bx_a + num );
// Restore the sign bit
uint32_t atan_2q = ux_s | (uint32_t &)atan_1q;
return (float &)atan_2q;
}
// Approximates atan2(y, x) normalized to the [0,4) range
// with a maximum error of 0.1620 degrees
float norm_atan2( float y, float x )
{
static const uint32_t sign_mask = 0x80000000;
static const float b = 0.596227f;
// Extract the sign bits
uint32_t ux_s = sign_mask & (uint32_t &)x;
uint32_t uy_s = sign_mask & (uint32_t &)y;
// Determine the quadrant offset
float q = (float)( ( ~ux_s & uy_s ) >> 29 | ux_s >> 30 );
// Calculate the arctangent in the first quadrant
float bxy_a = ::fabs( b * x * y );
float num = bxy_a + y * y;
float atan_1q = num / ( x * x + bxy_a + num );
// Translate it to the proper quadrant
uint32_t uatan_2q = (ux_s ^ uy_s) | (uint32_t &)atan_1q;
return q + (float &)uatan_2q;
}
如果您需要更高的精度，可以使用三阶有理函数：
normalized_atan(x) ~ ( c x + x^2 + x^3) / ( 1 + (c + 1) x + (c + 1) x^2 + x^3)
where c = (1 + sqrt(17)) / 8
最大近似误差为 0.00811º
【讨论】：
在这里提交我来自other similar question.的答案
nVidia 有一些很棒的资源，我自己用过，几个例子：acosasinatan2 等等...
这些算法产生足够精确的结果。这是一个直接的 Python 示例，其中粘贴了他们的代码副本：
import math
def nVidia_acos(x):
negate = float(x<0)
x=abs(x)
ret = -0.0187293
ret = ret * x
ret = ret + 0.0742610
ret = ret * x
ret = ret - 0.2121144
ret = ret * x
ret = ret + 1.5707288
ret = ret * math.sqrt(1.0-x)
ret = ret - 2 * negate * ret
return negate * 3.14159265358979 + ret
以下是比较结果：
nVidia_acos(0.5) result: 1.0471513828611643
math.acos(0.5) result: 1.0471975511965976
这很接近！乘以 57.29577951 得到度数的结果，这也是他们的“度数”公式。
【讨论】：
也许是某种聪明的蛮力，比如牛顿拉普森。
因此，为了解决 asin()，你需要在 sin() 上进行最陡峭的下降
【讨论】：
使用多项式近似。最小二乘拟合最简单（Microsoft Excel 有），切比雪夫近似更准确。
这个问题之前已经讨论过：How do Trigonometric functions work?
【讨论】：
只有连续函数才能被多项式逼近。并且 arcsin(x) 在点 x=1.same arccos(x) 是不连续的。但是在这种情况下将范围缩小到区间 1,sqrt(1/2) 可以避免这种情况。我们有 arcsin(x)=pi/2- arccos(x),arccos(x)=pi/2-arcsin(x)。您可以使用 matlab 进行极小极大近似。仅在 [0,sqrt(1/2) 范围内近似)](如果该 arcsin 的角度请求大于 sqrt(1/2) 仅针对 x
【讨论】：