计算最长公共子序列复杂度的数学递推关系

Question

我想以数学方式计算 LCS 算法问题的递归关系。我的目的是应用大师定理计算复杂度O(2^n)。

/* Returns length of LCS for X[0..m-1], Y[0..n-1] */
int lcs( char *X, char *Y, int m, int n )
{
   if (m == 0 || n == 0)
     return 0;
   if(X[m-1] == Y[n-1])
     return 1 + lcs(X, Y, m-1, n-1);
   else
     return max(lcs(X, Y, m, n-1), lcs(X, Y, m-1, n));
}

任何人都可以解释如何推动这种重复关系？

Answer 1

递归关系是：

T(n,m) = T(n-1,m-1)+O(1), if (X[m-1] = Y[n-1])
         or
         T(n-1,m)+T(n,m-1)+O(1), otherwise

我们必须考虑最坏的情况，即：

 T(n,m) = T(n-1,m)+T(n,m-1)+O(1)

贯穿始终。归结为：

T(n,m) <= 2^(n-1) T(0,m) + ... , if m<n (longest branch of height n)
         or
         2^(m-1) T(n,0) + ... , if n<m (longest branch of height m)

这里如果最长分支的长度为 k，如果假设所有其他分支的高度也为 k，我们就会得到一个上限。 由于 T(0,k) 和 T(k,0) 都是常数，我们有

T(n,m) = O(2^(max(n,m)))

或者

T(n,m) = O(2^n)

如果 n 和 m 相等。