了解最长公共子序列算法的时间复杂度

Question

我不明白最长公共子序列算法的递归函数所具有的O(2^n) 复杂性。

通常，我可以将此表示法与算法的基本操作（在本例中为比较）的数量联系起来，但这一次在我看来没有意义。

例如，有两个长度相同的字符串5。在最坏的情况下，递归函数计算251 比较。而2^5 甚至还没有接近那个值。

谁能解释一下这个函数的算法复杂度？

def lcs(xstr, ystr):
    global nComp
    if not xstr or not ystr:
        return ""
    x, xs, y, ys = xstr[0], xstr[1:], ystr[0], ystr[1:]
    nComp += 1
    #print("comparing",x,"with",y)
    if x == y:
        return x + lcs(xs, ys)
    else:
        return max(lcs(xstr, ys), lcs(xs, ystr), key=len)

Answer 1

要正确理解它，请仔细查看图表，并在阅读图表时遵循自上而下的递归方法。

Here, xstr = "ABCD"
      ystr = "BAEC"

                                    lcs("ABCD", "BAEC")       // Here x != y 
                                  /                     \  
                lcs("BCD", "BAEC")   <--  x==y   -->    lcs("ABCD", "AEC")  x==y
                          |                                        |
                          |                                        |
                  lcs("CD", "AEC")   <--  x!=y   -->     lcs("BCD", "EC")
                 /                \                     /                \
                /                  \                   /                  \
               /                    \                 /                    \
      lcs("D","AEC")                  lcs("CD", "EC")              lcs("BCD", "C")
    /                \              /               \              /        \       
lcs("", "AEC")        lcs("D","EC")                  lcs("CD", "C")        lcs("BCD","")
  |        \         /              \                       |             /       |
Return     lcs("", "EC")    lcs("D" ,"C")            lcs("D", "")   lcs("CD","")  Return
           /         \       /         \             /        \       /        \ 
        Return      lcs("","C")    lcs("D","") lcs("","")  Return  lcs("D","")  Return
                     /     \         /     \      /                 /      \
                  Return   lcs("","")       Return            lcs("", "")  Return
                                 |                                  |
                              Return                            Return

注意： 递归调用的正确表示方式通常是使用树方法来完成，但这里我使用图形方法只是为了压缩树，以便人们可以轻松理解递归调用走。而且，我当然很容易代表。

---

1234563在lcs("BCD", "EC")。结果，这些对将在执行时被多次调用，这增加了程序的时间复杂度。

• 您可以很容易地看到，每一对都会为其下一级生成两个结果，直到遇到任何 empty 字符串或 x==y。因此，如果字符串的长度是n，m （考虑xstr的长度是n，ystr是m，我们正在考虑最坏的情况）。然后，我们将在订单结束时得到数字结果：2^n+m。 （怎么想？）

因为，n+m 是一个整数，比如说 N。因此，算法的时间复杂度为：O(2^N)，对于较大的N值来说效率不高。

因此，我们更喜欢 动态编程 方法而不是递归方法。它可以将时间复杂度降低到： O(nm) => O(n²) ，当 n == m.

即使是现在，如果你很难理解逻辑，我建议你为xstr = "ABC" 和ystr = "EF"。希望你能理解。

如有任何疑问，欢迎 cmets。

Answer 2

O(2^n) 表示运行时间与(2^n) 成比例，足够大 n。这并不意味着这个数字是坏的、高的、低的或任何特定于 small n 的数字，并且它没有提供计算绝对运行时间的方法。

要了解其中的含义，您应该考虑 n = 1000、2000、3000 甚至 100 万、200 万等的运行时间。

在您的示例中，假设对于 n=5，该算法最多进行 251 次迭代，那么 O(n) 的预测是对于 n=50，它将采用 @ 987654326@ = 2^45*251 = ~8.8E15 迭代次数。