如何在具有两个属性、每个属性的必要权重和最小总值的 3d 数组中实现背包算法？

Question

卡车问题：

我们至少需要 W1 项目 1 的重量和 W2 项目 2 的重量，以获得最低总耗气值。
每辆卡车承载w1 重量的物品1，w2 重量的物品2 并消耗v 的汽油。

例如，输入将是：

5 60 5    // W1, W2, number of records below
3 36 120  // w1, w2, v
10 25 129 // w1, w2, v
5 50 250  // w1, w2, v
1 45 130  // w1, w2, v
4 20 119  // w1, w2, v

输出应该是：

249

我需要实现一个功能

int truck_knapsack(int W1, int W2, int w1[], int w2[], int v[], int n);

返回gas消耗的最小值，其中

• n 是记录（卡车）的数量，
• v[] 耗气值，
• w1[] item1 的权重，
• w2[] item2 的权重，
• W1item1的必要重量，
• W2 item2 的必要重量。

我发现了类似的问题陈述和解决方案，但我无法为此找到解决方案。

我的老师指示我使用 3d 数组自下而上的方法来解决这个问题，但任何解决方案都会非常有帮助。

Answer 1

我相信您可以使用this answer 描述的策略。您的问题不是直接的背包公式，而是可以转换为一个。

设置 TotalW₁ = ∑w_1i - W₁ 和 TotalW₂ = ∑w _2i - W₂。现在你可以解决一个Mulitple Constraints Knapsack problem

• 最大化∑x_iv_i
• 约束1：∑x_jw_1j ≤ TotalW₁ - W₁
• 约束2：∑x_jw_2j ≤ TotalW₂ - W₂

为了获得针对您的问题的最小化问题陈述的解决方案，您只需采用背包解决方案的补充，即未选择的卡车是在携带预期总重量最小的同时最小化气体消耗的卡车。
根据问题，输出应该是满足重量条件的卡车的总值。以下是显示您的问题示例的递归算法：

#include <stdio.h>

int max(int a, int b)
{
  return (a > b ? a : b);
}

int truck_knapsack(int W1, int W2, int w1[], int w2[], int v[], int n)
{
  if (n == 0 || W1 == 0 || W2 == 0)
    return 0;

  if (w1[n - 1] > W1 || w2[n - 1] > W2)
    return truck_knapsack(W1, W2, w1, w2, v, n - 1);

  return max(
      v[n - 1] + truck_knapsack(W1 - w1[n - 1], W2 - w2[n - 1], w1, w2, v, n - 1),
      truck_knapsack(W1, W2, w1, w2, v, n - 1));
}

int main()
{
  int W1 = 5;
  int W2 = 60;
  int w1[] = {3, 10, 5, 4, 1};
  int w2[] = {36, 25, 50, 45, 20};
  int v[] = {120, 129, 250, 130, 119};
  int n = 5;

  // the problem statement is a variation of Knapsack problem
  // turn it into a classical Knapsack problem

  // total1 = sum of w1 weights - W1
  int total1 = 0;
  for (int i = 0; i < n; i++)
    total1 += w1[i];
  total1 -= W1;

  // total2 = sum of w2 weights - W2
  int total2 = 0;
  for (int i = 0; i < n; i++)
    total2 += w2[i];
  total2 -= W2;

  // the result of the Knapsack algorithm is the max
  // bounded by total1 and total2
  // the result of the original problem statement is sum_of_values - result
  int result = truck_knapsack(total1, total2, w1, w2, v, n);
  int sum_values = 0;
  for (int i = 0; i < n; i++)
    sum_values += v[i];
  printf("%d\n", sum_values - result);

  return 0;
}

输出为 249。