具有两个权重的背包算法答案

【问题标题】：knapsack algorithm with two weights具有两个权重的背包算法
【发布时间】：2016-11-05 03:59:22
【问题描述】：

我有以下问题：

解决背包0-1问题（不是分数）假设每个对象的权重为w1 或w2（只有两个权重）。容量=W，算法必须在 O(nlogn) 上运行。

我试过解决，贪心算法不行，动态规划算法是O(n*W)。

谁能给我提示。谢谢。

【问题讨论】：

标签： algorithm time-complexity dynamic-programming knapsack-problem greedy

【解决方案1】：

您可以将元素分成两部分，一份以w1 作为权重，另一份以w2 作为权重。

现在您可以根据成本对以上两个列表进行排序。

A1：按cost降序排列，权重为w1的元素

A2 : 按成本降序排序，权重为 w2 的元素

现在您可以创建两个数组的前缀总和，我们将它们称为P1, P2。

示例：

Array : 11, 8, 5, 3, 1

Prefix sum : 11, 19, 24, 27, 28

获得前缀总和后，您可以遍历P1 数组并尝试将元素包含到第i 个索引。一旦我们包含直到i 的元素，我们就剩下W - (w1*i) 权重，然后我们可以尝试在P2 数组中对这个权重进行二分搜索。

伪代码：

A : input array
create A1 : cost of elements having w1 weight
create A2 : cost of elements having w2 weight

sort(A1, descending)
sort(A2, descending)

for(i=0;i <= A1.size();i++){
      P1[i] = P1[i-1] + A1[i];
      P2[i] = P2[i-1] + A2[i];
}
int ans = 0;
for(i=1;i<=A1.size();i++){
      if(i * w1 <= W){
            int wLeft = W - i * w1;
            int ans = binarySearch(wLeft, P2) + p1[i];  
      }
}
ans => contains the answer

//-----------Binary search function
int binarySearch(int weight, P2[]){
      int start = 0, end = P2.size(), ans = 0;
      int mid = (start+end)/2;
      while(start <= end){
            if(mid * w2 <= weight){
                  start = mid + 1;
                  ans = max(ans, p2[mid]);
            }else{
                  end = mid - 1;
            }
      }
return ans
}

整体复杂度为O(n * log n)。

正如@j_random_hacker 所建议的，我们可以迭代第二个前缀数组，因为我们只能通过添加元素来改进解决方案，它会通过删除二进制搜索来简化代码。

【讨论】：

这看起来是唯一考虑价值/成本的解决方案（公平地说，OP 本可以更清楚地表明问题包括这些）。您可以将内部循环中的二分查找替换为从 P2 末尾向后走的指针 j，但这不会提高时间复杂度，因为排序仍然占主导地位。
我认为这个算法有一些拼写错误：P1[i] = P[i-1] + A1[i]; - 不应该是P1[i] = P1[i-1] + A1[i];吗？（下一行也是如此）。另外，我不确定ans 机制是否准确。最后，binarySearch 是否有可能在else 分支中缺少某些内容？但是，也许我错了:-)
@Zvika 感谢您指出错误已修复。为什么你认为 ans 机制不准确，你能提供一些它可能失败的示例案例吗？我不认为在 else 的情况下有什么遗漏，如果你能指出一些具体的错误就好了。

【解决方案2】：

由于您可以使用两种权重：

首先使用尽可能多的元素 w1 或可以放入 W 中。在它们之后尽可能多的 w2。

当你得到这样的背包时，在每次迭代中从中弹出一个 w1 元素，并放入尽可能多的 w2 或你有的。只要背包中有 w1 元素，就可以这样做。

所有迭代中背包的最大重量将是你的答案，算法将在 O(n) 中运行

【讨论】：