为什么 double 可以存储比 unsigned long long 更大的数字？

Question

问题是，我不太明白为什么 double 可以存储比 unsigned long long 更大的数字。由于它们都是 8 字节长，所以 64 位。

在 unsigned long long 中，所有 64 位都用于存储一个值，另一方面，double 有 1 表示符号，11 表示指数，52 表示尾数。即使 52 位用于尾数，用于存储没有浮点的十进制数，它仍然是 63 位 ...

但是 LLONG_MAX 明显小于 DBL_MAX ...

为什么？

Answer 1

原因是unsigned long long 将存储精确 整数，而double 存储尾数（有限的 52 位精度）和指数。

这允许double 存储非常大的数字（大约 10³⁰⁸），但不完全是。 double 中有大约 15 个（几乎 16 个）有效十进制数字，其余 308 个可能的小数为零（实际上未定义，但您可以假设为“零”以便更好地理解）。
unsigned long long 只有 19 位数字，但每一位数字都是精确定义的。

编辑：
在回复下面的评论“这到底是如何工作的”时，您有 1 位用于符号，11 位用于指数，52 位用于尾数。尾数在开头有一个隐含的“1”位，它没有被存储，所以实际上你有 53 个尾数位。 2⁵³ 是 9.007E15，所以你有 15 个，几乎 16 个十进制数字可以使用。
指数有一个符号位，范围从 -1022 到 +1023，用于缩放（二进制左移或右移）尾数（2¹⁰²³ 约为 10^{307 sup>，因此范围有限制），因此非常小的和非常大的数字同样可以使用这种格式。
但是，当然，您可以表示的所有数字都只有与 matissa 匹配的精度。}

总而言之，浮点数不是很直观，因为“简单”的十进制数根本不一定可以表示为浮点数。这是因为尾数是二进制的。例如，可以（并且很容易）以完美的精度表示任何高达几十亿的正整数，或者像 0.5、0.25 或 0.0125 这样的数字。
另一方面，也可以表示像 10²⁵⁰ 这样的数字，但只是近似的。其实你会发现10²⁵⁰和10²⁵⁰+1是同一个数（等等，什么？？？）。这是因为尽管您可以轻松拥有 250 个数字，但您没有那么多重要 数字（将“重要”读作“已知”或“已定义”）。
此外，即使 0.3 甚至不是一个“大”数字，也也只能近似地表示像 0.3 这样看似简单的东西。但是，你不能用二进制表示 0.3，而且无论你附加什么二进制指数，你都不会找到任何导致 0.3 的二进制数（但你可以非常接近）。

一些“特殊值”是为“无穷大”（正数和负数）以及“非数字”保留的，因此您的值略小于总理论范围。 p>

unsigned long long 另一方面，不以任何方式解释位模式。您可以表示的所有数字只是位模式表示的确切数字。每个数字的每个数字都是精确定义的，不会发生缩放。

Answer 2

IEEE754 浮点值可以存储更大范围的数字，因为它们牺牲了精度。

也就是说，我的意思是 64 位整数类型可以表示其范围内的每个值，但 64 位双精度类型不能。

例如，尝试将0.1 存储到双精度中实际上不会给你0.1，它会给你类似的东西：

0.100000001490116119384765625

（这实际上是最接近的单精度值，但同样的效果也适用于双精度）。

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但是，如果问题是“如何以更少的位数获得更大的范围？”，只是其中一些位用于缩放值。

经典示例，假设您有四个十进制数字来存储一个值。使用整数，您可以表示数字 0000 到 9999（含）。该范围内的精度是完美的，您可以表示每个整数值。

但是，让我们使用浮点数并使用最后一位数字作为刻度，以便数字 1234 实际上代表数字 123 x 10<sup>4</sup>。

所以现在您的范围是从0（由0000 到0009 表示）到999,000,000,000（由9999 表示为999 x 10<sup>9</sup>）。

但你不能代表该范围内内的每个数字。例如，123,456 无法表示，你可以得到的壁橱是数字 1233 给你123,000。而且，事实上，整数值的精度为四位，现在只有三位了。

这就是基本上 IEEE754 的工作原理，牺牲了范围的精度。

Answer 3

免责声明

这是试图提供一个易于理解的关于浮点编码如何工作的解释。这是一种简化，不涵盖真正的 IEEE 754 浮点标准的任何技术方面（归一化、有符号零、无穷大、NaN、舍入等）。但是，这里提出的想法是正确的。

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由于计算机使用基数为2 的数字而人类不容易处理它们，这一事实严重阻碍了对浮点数如何工作的理解。我将尝试解释浮点数是如何使用 base 10 工作的。

让我们使用符号和基数 10 数字（即我们每天​​使用的从 0 到 9 的常用数字）构造一个浮点数表示。

假设我们有10 方形单元格，每个单元格可以包含符号（+ 或 -）或十进制数字（0、1、2、3、 4、5、6、7、8 或 9)。

我们可以使用 10 位数字来存储有符号整数。符号一位，数值九位：

sign -+   +-------- 9 decimal digits -----+
      v   v                               v
    +---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+
    | + | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 5 | 0 | 0 |
    +---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+

这就是值1500 表示为整数的方式。

我们还可以使用它们来存储浮点数。例如，尾数为 7 位，指数为 3 位：

  +------ sign digits --------+
  v                           v
+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+
| + | 0 | 0 | 0 | 1 | 5 | 0 | + | 0 | 1 |
+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+
|<-------- Mantissa ------->|<-- Exp -->|       

这是1500 作为浮点值的可能表示形式之一（使用我们的 10 位十进制数字表示）。

尾数（M）的值为+150，指数（E）的值为+1。上面表示的值为：

V = M * 10^E = 150 * 10^1 = 1500

范围

整数表示可以存储-(10^9-1) (-999,999,999) 和+(10^9-1) (+999,999,999) 之间的有符号值。此外，它可以表示这些限制之间的每一个整数值。更重要的是，每个值都有一个表示形式，而且是精确的。

浮点表示可以存储 -999,999 和 +999,999 之间的尾数 (M) 和 -99 和 +99 之间的指数 (E) 的有符号值。

它可以存储-999,999*10^99 和+999,999*10^99 之间的值。这些数字有105 数字，比上面表示为整数的最大数字的9 数字多得多。

精度的松散

请注意，对于整数值，M 存储符号和值的前 6 位（或更少），E 是不适合 M 的位数。

V = M * 10^E

让我们尝试使用我们的浮点编码来表示V = +987,654,321。

因为M 仅限于+999,999，所以它只能存储+987,654，而E 将是+3（V 的最后 3 位数字不能放入 M）。

把它们放在一起：

+987,654 * 10^(+3) = +987,654,000

这不是 V 的原始值，而是我们可以使用此表示获得的最佳近似值。

请注意，+987,654,000 和+987,654,999 之间（包括在内）的所有数字都使用相同的值（M=+987,654, E=+3）进行近似。此外，对于大于 +999,999 的数字，也无法存储十进制数字。

作为一般规则，对于大于 M (+999.999) 最大值的数字，此方法为 +999,999*10^E 和 +999,999*10^(E+1)-1 之间的所有值生成相同的表示形式（整数或实数，它不会没关系）。

结论

对于较大的值（大于M 的最大值），浮点表示在它可以表示的数字之间存在间隙。随着E 值的增加，这些差距越来越大。

“浮点”的整个想法是存储十几个最具代表性的数字（数字的开头）和数字的大小。

我们以光速为例。它的值约为300,000 km/s。如此庞大，对于大多数实际用途而言，您根本不在乎它是 300,000.001 km/s 还是 300,000.326 km/s。

其实也没那么大，更好的近似是299,792.458 km/s。

浮点数提取光速的重要特征：其量级为数十万公里/秒（E=5），其值为3（数十万公里/秒）。

speed of light = 3*10^5 km/s

我们的浮点表示可以近似为：299,792 km/s (M=299,792, E=0)。

Answer 4

发生了什么魔法？？？

同样的魔法可以让你表示 101 位数字

10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 

作为

1.0 * 10<sup>100</sup>

这只是你在 base 2 中做的而不是 base 10：

0.57149369564113749110789177415267 * 2<sup>333</sup>。

此表示法允许您以紧凑的方式表示非常大（或非常小）的值。不是存储每个数字，而是存储 significand（也称为尾数或分数）和 指数。这样，数百个十进制数字长的数字可以以仅占用 64 位的格式表示。

正是指数允许浮点数表示如此大的范围值。指数值1024只需要10位来存储，而2<sup>1024</sup>是一个308位的数字。

权衡是不是每个值都可以准确地表示。对于 64 位整数，0 和 2<sup>64</sup>-1（或 -2<sup>63</sup> 到 2<sup>63</sup>-1）之间的每个值都有精确的表示。浮点数并非如此，原因有几个。首先，你只有这么多位，只给你这么多位的精度。例如，如果您只有 3 个有效数字，那么您不能表示介于 0.123 和 0.124、或 1.23 和 1.24、或 123 和 124、或 1230000 和 1240000 之间的值。当您接近范围的边缘时，可表示值之间的差距变大。

其次，就像有些值不能用有限位数表示（3/10 给出非终止序列0.33333...<sub>10</sub>），有些值不能用有限位数表示（@ 987654332@ 给出非终止序列1.100110011001...<sub>2</sub>)。

Answer 5

也许您觉得“将一个数字存储在 N 位中”是基本的东西，但有多种方法可以做到这一点。事实上，更准确的说法是我们表示一个 N 位的数字，因为其含义取决于我们采用的约定。原则上，我们可以采用我们喜欢的任何约定来表示不同的 N 位模式的数字。有用于unsigned long long 和其他整数类型的二进制约定，以及用于double 的尾数+指数约定，但我们也可以定义我们自己的（荒谬的）约定，例如，所有位为零表示您要指定的任何巨大数字。在实践中，我们通常使用允许我们使用运行程序的硬件有效地组合（加、乘等）数字的约定。

也就是说，您的问题必须通过比较最大的二进制 N 位数与 2^exponent * mantissa 形式的最大数来回答，其中 exponent mantissa 是 E 位和 M 位二进制数（与尾数开头的隐式 1）。那就是2^(2^E-1) * (2^M - 1)，通常确实远大于2^N - 1。

Answer 6

Damon 和 Paxdiablo 解释的小例子：

#include <stdio.h>

int main(void) {
    double d = 2LL<<52;
    long long ll = 2LL<<52;
    printf("d:%.0f  ll:%lld\n", d, ll);
    d++; ll++;
    printf("d:%.0f  ll:%lld\n", d, ll);
}

输出：

d:72057594037927936  ll:72057594037927936
d:72057594037927936  ll:72057594037927937

这两个变量会以相同的方式递增，位移为 51 或更少。