将两个溢出的整数以三分之一为模相乘答案

【问题标题】：Multiply two overflowing integers modulo a third将两个溢出的整数以三分之一为模相乘
【发布时间】：2013-02-13 16:41:32
【问题描述】：

给定三个整数，a、b和c 和a,b <= c < INT_MAX，我需要计算(a * b) % c，但如果值太大，a * b 可能会溢出，从而给出错误的结果。

有没有办法通过 bithacks 直接计算，即不使用不会溢出相关值的类型？

【问题讨论】：

必须和Ivella上同一堂课：stackoverflow.com/questions/14857702/…
不，我只是减少我的问题，直到它们听起来像家庭作业...... Katabusa 似乎很投入，我希望我错过了一些明显的位黑客（比如链接中提到的(a % c) * (b % c) % c，它但不适用于我的问题……）
@MatsPetersson If a
Overflow: a*a mod n 的可能重复项（具体请参见此处的my answer）。这是为了平方，但可以很容易地适应任意乘法。
stackoverflow.com/q/8733178/995714

标签： c bit-manipulation

【解决方案1】：

这里并不需要 Karatsuba 的算法。将操作数拆分一次就足够了。

为了简单起见，假设您的数字是 64 位无符号整数。设 k=2^32。那么

a=a1+k*a2
b=b1+k*b2
(a1+k*a2)*(b1+k*b2) % c = 
   a1*b1 % c + k*a1*b2 % c + k*a2*b1 % c + k*k*a2*b2 % c

现在a1*b1 % c 可以立即计算，其余的可以通过交替执行x <<= 1 和x %= c 32 或 64 次来计算（因为 (u*v)%c=((u%c)*v) ％C）。如果c >= 2^63，这表面上可能会溢出。然而，好消息是这对操作不需要按字面意思执行。要么x < c/2，然后你只需要一个班次（并且没有溢出），或者x >= c/2 和

2*x % c = 2*x - c = x - (c-x).

（并且没有再次溢出）。

【讨论】：

【解决方案2】：

一些主要编译器提供 128 位整数类型，您可以使用它进行此计算而不会溢出。

【讨论】：