这个 DP 解决方案是如何实现的？

Question

一段时间以来，我一直在尝试解决这个 TopCoder 问题，但我无法提出基于 DP 的解决方案来解决这个问题（如下所示）。我也找到了其他人解决问题的方法（下面也给出了），但我什至无法理解。

谁能帮我解决这里的问题？我不明白什么思路会导致这个解决方案？如何在我的脑海中建立递归关系？我完全不知道如何解决这个问题，或者编写该解决方案的人是如何编写它的。

PS：我知道 TopCoder 有问题的社论，但这个还没有发布。我不知道为什么。

这是problem

Fox Ciel 有很多功课要做。作业包括一些 相互独立的任务。不同的任务可能需要不同的金额 的时间来完成。您将获得一个 int[] workCost。对于每个 i， 第 i 个任务需要 workCost[i] 秒才能完成。她愿意 参加一个聚会并见她的朋友，因此她想完成所有 尽快完成任务。

主要问题是所有的狐狸，包括夏尔，真的很讨厌做 在家工作。每只狐狸只愿意做其中一项任务。幸运的是， 哆啦A梦，22世纪的机器猫，与Fox Ciel分道扬镳 锤子：可以将任何一只狐狸一分为二的魔法道具。

给你一个 int splitCost。在狐狸身上使用劈锤是 瞬间。一旦锤子用在狐狸身上，狐狸就会开始 分裂。 splitCost 秒后她会变成两只狐狸—— 原来的狐狸和另一只全新的狐狸。当狐狸分裂时， 不允许再对她使用锤子。

一项任务的工作不能被打断：一旦狐狸开始工作 一项任务，她必须完成。不允许多只狐狸 合作完成同一任务。狐狸不能在她做任务的时候工作 用锤子劈开。可以分裂同一个狐狸 多次。之前和之后都可以分裂狐狸 她解决了其中一项任务。

计算并返回狐狸可以用的最短时间 解决所有任务。

这是solution：

1:    
2:  const int maxN = 55;  
3:  int dp[maxN][maxN*2];  
4:  int N;  
5:  int splitC;  
6:  vector<int> workC;  
7:    
8:  int rec(int,int);  
9:  int FoxAndDoraemon::minTime(vector <int> workCost, int splitCost) {  
10:      
11:    sort(workCost.begin(), workCost.end());  
12:    N = workCost.size();  
13:    splitC = splitCost;  
14:    workC = workCost;  
15:       memset(dp, -1, sizeof(dp));  
16:      
17:    return rec(N-1, 1);  
18:  }  
19:    
20:  int rec(int jobs, int fox)  
21:  {  
22:    if(jobs == -1) return 0;  
23:      
24:    int& val = dp[jobs][fox];  
25:    if(val != -1) return val;  
26:    val = 0;  
27:      
28:    if( (jobs+1) <= fox) val = max(workC[jobs] , rec(jobs-1, fox-1));  
29:    else  
30:    {  
31:      //split fox  
32:      val = splitC + rec(jobs, fox + 1);  
33:        
34:      if( !(fox == 1 && jobs > 0) )  
35:        val = min(val, max(workC[jobs], rec(jobs-1, fox-1)));  
36:    }  
37:    return val;  
38:  }  
39:    

Answer 1

DP 问题通常需要你做几个例子，而要擅长它的唯一方法就是练习。尝试解决 DP 中的一些标准问题类型，如最长递增子序列、背包、硬币变化、矩阵乘法、TSP 等。尝试这些类型的变体。

关于上面的问题，有几点需要注意：

• 您需要 N 只狐狸来完成 N 项任务（1 只狐狸只能完成 1 项任务）。因此，如果您已经克隆了 N 只狐狸，则无需再创建。而且，如果您有多个任务，则必须拆分第一只狐狸。
• 每只狐狸可以做两件事
  • 将其拆分，然后计算所用的最短时间
  • 不要拆分，而是执行当前任务并计算用少一只狐狸执行剩余任务所需的时间。
    • 请注意，如果您有超过 1 只狐狸（或 1 只狐狸有 1 个任务），您只能选择不拆分。

这应该可以让您对问题有所了解。我还没有彻底分析问题，但递归似乎并没有创建重叠调用，即如果我有 3 个任务和 2 个狐狸，我只调用该状态一次，不再调用。因此，该解决方案是常规递归解决方案，而不是 DP。

Answer 2

该社论现已在 TopCoder 网站上发布。您可以在那里看看！