投影变换后的线函数

Question

我有一个与projective transform 相关的问题。假设现在我们知道图像中有一个线函数ax+by+c=0，图像会经历一个投影畸变，该畸变可以表示为一个射影变换矩阵：

那么在进行了投影变换后，我怎么知道新扭曲图像中的线函数呢？谢谢！

** 编辑 ** 根据建议，我找到了答案。在这里，我贴出MATLAB代码来说明一下：

close all;
% Step 1: show the images as well as lines on it
imshow(img);
line = hor_vt{1}.line(1).line;   a = line(1); b=line(2); c=line(3);
[row,col] = size(img);
x_range = 1:col;
y_range = -(a*x_range+c)/b;
hold on; plot(x_range,y_range,'r*');
line = hor_vt{1}.line(2).line;   a = line(1); b=line(2); c=line(3);
y_range = -(a*x_range+c)/b;
hold on; plot(x_range,y_range,'y*');
% Step 2: show the output distorted image that goes through projective
% distortion. 
ma_imshow(output);
[row,col] = size(output);
x_range = 1:col;
line = hor_vt{1}.line(1).line;  
line = reverse_tform.tdata.Tinv*line(:); % VERY IMPORT
a = line(1); b=line(2); c=line(3);
y_range = -(a*x_range+c)/b;
hold on; plot(x_range,y_range,'r*');
disp('angle');
disp( atan(-a/b)/pi*180);
line = hor_vt{1}.line(2).line;  
line = reverse_tform.tdata.Tinv*line(:); % VERY IMPORT
a = line(1); b=line(2); c=line(3);
y_range = -(a*x_range+c)/b;
hold on; plot(x_range,y_range,'y*');
disp('angle');
disp( atan(-a/b)/pi*180);

上面有两行的原始图像：

经过投影畸变后，带有线条的输出图像变为：

Answer 1

这是一种比上面的代码更容易理解的方法。

给定一个非奇异单应性 H（即由具有非零行列式的 3x3 矩阵 H 表示的单应性）：

1. 齐次 2D 点（表示为 3D 列向量）从右侧变换：

   p' = H * p

2. 2D 线（表示为它们的 3 个系数的 3D 行向量）通过逆单应性从左侧变换：

   l' = l * H^-1

证明：对于属于线 l 的每个点 p，它是 l * p = 0。但是 l * (H^-1 * H) * p = 0，因为 (H^-1 * H) = I 是单位矩阵。最后一个方程，根据关联属性，可以重写为 (l * H^-1) * (H * p) = 0。但是，对于属于该线的每个 p，p' = H * p 是同一个点由单应性变换。因此，最后一个等式表明，这些相同的点在变换后的坐标中属于系数为 l' = l * H^-1，QED 的直线。

Answer 2

我不是数学家，所以也许有更好的解决方案，但您可以按原样使用方程，然后通过乘以变换矩阵来变换输出。