给定 3D 点集（ X = (x1, x2, x3), Y = (y1, y2, y3) ），我如何拟合从 X 到 Y 的转换？
据我所知，这称为投影变换。
这是 X 和 Y 的示例。
X 中的蓝线和红线平行，但 Y 中不平行。
【问题讨论】：
3d 中的投影变换具有关联的 4x4 矩阵（模常数乘法）。你可以找到最小二乘拟合的矩阵。
【讨论】：
嗯。我发现了一些有用的信息：
这种变换是非线性的，不可能用矩阵来表示非线性变换。有一些技巧，例如使用齐次坐标。但它并没有使所有非线性变换都可以使用矩阵来表示。 但是，用线性函数逼近非线性函数是可能的。
【讨论】：
所以，任务是找到最合适的linear transformation，对吧？
有一个使用线性回归的简单解决方案。
假设转换矩阵名为A，尺寸为 3x3。假设你在转换前后有N 3D 向量（点） - 所以你有 3 行 N 列的矩阵 X 和 Y。那么变换就是：
Y = A X + B
其中 B 是长度为 3 的向量并指定移位。您可以使用索引重写矩阵乘法：
y[i,j] = sum(k=1..3)(a[i,k] * x[k,j]) + b[i]
对于 i = 1..3 和 j = 1 .. N。因此，您有 12 个未知变量（a、b）和 3 * N 个方程。对于 N >= 4，您只需使用线性回归找到最佳解决方案。
例如，在 R 中很容易：
# input data
X = matrix(c(c(0, 0, 0), c(1, 0, 0), c(0, 1, 0), c(0, 1, 1)), nrow = 3)
Y = matrix(c(c(1, 0, 1), c(2, 0, 1), c(1, 1, 1), c(1, 1, 2)), nrow = 3)
# expected transformation: A is identity matrix, b is [1, 0, 1]
N = dim(Y)[2]
# transform data for regression
a1 = rbind(t(X), matrix(rep(0, 3*2*N), ncol = 3))
a2 = rbind(matrix(rep(0, 3*N), ncol = 3), t(X), matrix(rep(0, 3*N), ncol = 3))
a3 = rbind(matrix(rep(0, 3*2*N), ncol = 3), t(X))
b1 = rep(1:0, c(N, 2*N))
b2 = rep(c(0, 1, 0), each = N)
b3 = rep(0:1, c(2*N, N))
y = as.vector(t(Y))
# do the regression
summary(lm(y ~ 0 + a1 + a2 + a3 + b1 + b2 + b3))
输出是：
[...]
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
a11 1.000e+00 NA NA NA
a12 -2.220e-16 NA NA NA
a13 -3.612e-32 NA NA NA
a21 7.850e-17 NA NA NA
a22 1.000e+00 NA NA NA
a23 -1.743e-32 NA NA NA
a31 0.000e+00 NA NA NA
a32 0.000e+00 NA NA NA
a33 1.000e+00 NA NA NA
b1 1.000e+00 NA NA NA
b2 -7.850e-17 NA NA NA
b3 1.000e+00 NA NA NA
Residual standard error: NaN on 0 degrees of freedom
Multiple R-squared: 1, Adjusted R-squared: NaN
F-statistic: NaN on 12 and 0 DF, p-value: NA
正如预期的那样。
【讨论】：