下面是 2 个矩形。给定矩形顶点的坐标 - (x1, y1)...(x8, y8)，如何计算重叠区域（下图中白色）的面积？
请注意：
【问题讨论】：
rectangles 对齐轴，对吗？
标签： c++ math computational-geometry
既然你说矩形可能没有对齐，可能的答案可能是什么，一个点，一条线段，或者一个 3-8 边的多边形。
执行此2d boolean 操作的常用方法是选择边缘的逆时针顺序，然后评估临界点（交叉点或拐角）之间的边缘段。在每个交叉点，您在第一个矩形的边缘段和第二个矩形的边缘之间切换，反之亦然。您总是选择前一个片段左侧的片段。
有很多细节，但基本算法是找到所有交点，并使用适当的数据结构在它们的边缘上对它们进行排序。选择一个交点（如果有的话）并选择一条远离该交点的线段。找到所选起始段左侧的另一个矩形的段。在图中，我们选择交叉点a上的绿色线段（箭头方向）作为参考线段。右边的另一个矩形的线段是从 a 到 b 的线段。将其用作下一个参考段，并选择其左侧的绿色段。那是从 b 到 c 的部分。以相同的方式查找段 cd。下一段是从 d 到角点，所以角点也在交点的顶点列表中。从玉米地我们回到a。
要每次选择左侧，请使用相交边的方向向量坐标的确定值。如果有序有向边对的行列式是正的，那么你就走对了。
现在您已经有了交集多边形的顶点，您可以使用surveyor's formula 来获取面积。
我要留给你的一些细节是：
如果一个角与另一个三角形的边或顶点重合怎么办？
如果没有交叉路口怎么办？ （一个矩形在另一个矩形之内，或者它们不相交——您可以使用多边形中的点检查来解决这个问题。请参阅Wikipedia article on polygons。
如果交点是单点或线段怎么办？
【讨论】：
还有一种你可能会觉得有趣但可能不适用于这种情况的方法，那就是：
最终的解决方案是边界框的面积乘以两个矩形内的点数，然后除以数字 步骤 2 的重复次数，或以公式的形式：
intersection_area = bounding_box_area * num_of_dots_inside_both / num_of_repetitions
当然，重复次数越多，结果就越精确。顺便说一下，这种方法称为蒙特卡洛方法。
【讨论】：
您可以通过求解图形所有对边的交点方程来计算交点： /frac{x - a}{b - a} = /frac{x - c}{d - c}
您以这种方式获得的积分可以位于 paralelepide 的两侧，尽管它们不能。您必须检查通过求解方程获得的交点是否位于图形的两侧。如果是这样，您可以计算延伸到两个图形内部的图形边的长度，并通过取它们的倍数来计算交点的平方。
我想我的方法听起来有点过于复杂，但这是我想到的第一个想法。
【讨论】：
用三角形而不是矩形来考虑问题可能会有所帮助。给定空间中的三个点，求三角形的面积相对简单。
如下图所示，您可以通过三角形面积之和减去矩形面积来找到相交面积。
基本上它变成了triangulation problem。
有一个很好的介绍here，其中包含一些关于数据结构和算法的指针。
编辑：
有一些free triangulation libraries 可以重复使用。
如果你知道你开始的两个三角形的面积，你可以找到矩形联合的总面积，所以交点就是两个矩形的总面积 - 联合面积。
【讨论】：
如果你碰巧使用Qt，那么交集可以计算为QPolygonF交集。
大致如此：
QPolygonF p1,p2, intersected;
p1 << QPointF(r1x1,r1y1) << ... << QPointF(r1x4, r1y4);
p2 << QPointF(r2x1,r2y2) << ... << QPointF(r2x4, r2y4);
intersected = p1.intersected(p2);
float area = polyArea(intersected); // see code block below
（r1 = 矩形 1，r2 = 矩形 2，分别有 4 个 x 和 y 坐标）。
现在计算面积（使用已经提到的Shoelace formula）：
inline float polyArea(const QPolygonF& p)
{
//https://en.wikipedia.org/wiki/Polygon#Area_and_centroid
const int n = p.size();
float area = 0.0;
for (int i=0; i<n; i++)
{
area += p[i].x()*p[(i+1)%n].y() - p[(i+1)%n].x()*p[i].y();
}
if (area < 0)
return -0.5*area;
else
return 0.5*area;
}
我的代码在这里：公共领域
【讨论】：
也许你需要使用opencv。使用 fillPoly() 函数生成一个矩形。确保填充矩形为白色（255、255、255）。然后使用 copyTo() 函数，您将获得重叠区域。然后检查每个像素的值，如果是白色则+1。
【讨论】：