使用 CGAL 解决 LP 可行性

Question

我们能否使用CGAL解决下面提到的形式的线性规划可行性问题（如果没有，请提出替代方案）：

v.x_a > c 和，

v.x_b = c

其中v,x_a,x_b,c分别是向量、向量、向量和标量。我想为给定的一组x（x_a 和x_b 是x 的元素）找到一个满足这个不等式的元组(v,c)。

我见过documentation，但允许的形式是Ax(relation operator)b，其中relation operator 可以是>=、A 和b 都是已知的，而x 是未知的但我的要求是相反的，即我有x，但我想确定是否存在满足不等式的元组(A,b)。

背景： 我正在尝试实现一个 3D 网格生成器，我需要测试一条边（连接两个 3D 顶点）是否是 Delaunay。 Delaunay 边定义为：一条边是 Delaunay，当且仅当存在一个其端点的外球面，其中不包含任何其他顶点。

我的问题是基于here所描述的方法

Answer 1

根据 David Eppstein 在链接问题中描述的结构，i 和 j 是固定的，我们有额外的限制 v.xi = v.xj = c。于是问题就变成了：

找到一个向量v != 0，使得v.xk >= v.xi 代表所有k 和v.xi = v.xj。

这可以转化为

找到一个向量 v != 0 使得所有 k 和 (xi - xj).v >= 0 和 -(xi - xj).v >= 0 的 (xk - xi).v >= 0

通过将A 定义为所有k、xi - xj 和xj - xi 的行xk - xi 的矩阵，我们得到

找到一个向量v != 0 使得Av >= 0

它有你需要的形式。您可以通过暴力破解非零组件来强制执行v != 0。对于每个组件i 并尝试添加条件vi >= 1 或vi <= -1 并检查生成的系统的可解性。由于平面的法向量可以任意缩放，所以如果任何结果程序是可解的，则有一个解（如果d 是v 的维数，则有2d）。