绝对舍入误差和次正规数

【问题标题】：Absolute rounding error and subnormal numbers绝对舍入误差和次正规数
【发布时间】：2020-09-15 19:47:54
【问题描述】：

在 IEEE 单一格式的次正规数中是否存在 x，这样：

|round(????)-????|/|????|>????/2.

如果没有请说明。

注意：回合的模式是最近的

???? = 机器 epsilon = 在这种情况下为 2^-23

【问题讨论】：

如果 x 是 IEEE-754 binary32（“single”）中的次正规数，并且 round 函数舍入到最接近的 IEEE-754 binary32，则 round( x) = x。你的意思是问在IEEE-754 binary32次正规值的范围内是否有一个实数x具有那个性质，即一个x in 0 x

标签： rounding ieee-754 ieee

【解决方案1】：

令 x 为 2⁻¹⁰⁰⁰。最接近 x 的两个 IEEE-754 binary32（“单精度”浮点）值是 0 和 2^-149。所以round(x)是0，所以|round(x)-x| / |x| = |0−2⁻¹⁰⁰⁰| / |2⁻¹⁰⁰⁰| = 1，大于 2^-23.

再举一个例子，令 x 为 2⁻¹⁴⁹+2⁻¹⁵⁰ = 1½•2⁻¹⁴⁹。最接近它的两个 binary32 值是 2^-149 和 2^-148（等于 1•2^-149 和 2•2⁻¹⁴⁹)。它们与 x 等距，打破平局的规则是选择低位偶数的数字，即 2^-148。那么|round(x)-x| / |x| = |2^-148 - (2^-149+2^-150)| / |2⁻¹⁴⁹+2⁻¹⁵⁰| = |2•2^-149 - 1½•2^-149| / |1½•2⁻¹⁴⁹| = |2−1½| / |1½| = ½ / 1½ = ⅓，大于 2^-23。

【讨论】：