找到一个只有 AND、OR 和 NOT 门的布尔电路

Question

我试图找到一个带有 AND、OR 和 NOT 门的布尔电路，仅用于计算 ¬((A → ¬B) ∧ (C → A)) 的布尔函数。我的尝试是：

我在两个关节上放置箭头的位置（我相信“→ 或暗示”在函数中的位置）是我想问的关于如何在电路上表示它？如果我在正确的轨道上，请指导我，因为我是新手。谢谢。

Answer 1

你的初始表达式：¬((A → ¬B) ∧ (C → A))

让我们分解一下：A→B = ¬AvB 将其应用于您的表达式：

¬((¬Av¬B)∧(¬CvA))

符号定义：

¬ = NOT v = OR ∧ = AND

现在我们需要分解这个表达式：

1. 括号外的 NOT 表示将 NOT 运算应用于括号内的所有内容（本质上是反转值）。我们现在可以忽略它并专注于括号中的内容。新表达式：

(¬Av¬B)∧(¬CvA)

这又由两个子表达式组成，表示将 AND 运算应用于 (¬Av¬B) 的结果和 (¬CvA) 的结果。为此，我们需要为括号中的每个表达式定义逻辑电路。

以 (¬Av¬B) 开头：

接下来，我们找到 (¬CvA)：

现在我们已经定义了它们，我们可以回到我们原来的 (¬Av¬B)∧(¬CvA) 子表达式。现在这告诉我们将使用与门制作的逻辑电路的输出组合起来。为了更容易理解，让 (¬Av¬B) = E 和 (¬CvA) = F 现在我们有表达式 E∧F 或 E 和 F。见下图。

现在我们为表达式 (¬Av¬B)∧(¬CvA) 创建了一个逻辑电路，我们可以将其称为 G。我们的原始表达式是 ¬((¬Av¬B)∧(¬CvA))，它可以定义为 ¬(G) 或 NOT(G)，它正在反转（或应用非门）到我们刚刚制作的逻辑电路的输出。见下图：

如您所见，创建逻辑电路有多层“抽象”，这些逻辑电路由分隔表达式的括号定义。这有什么帮助。以下是一些可能对您有所帮助的进一步阅读链接：

布尔代数：维基：https://en.wikipedia.org/wiki/Boolean_algebra

卡诺图：https://en.wikipedia.org/wiki/Karnaugh_map

Answer 2

您不能在地图上表示这些点：顶部的点是非法的，因为它将输入连接到中间输出，而底部的点将两个输入连接在一起。

一种方法是将蕴涵 X → Y 替换为表达式中的逻辑等价 ¬X ∨ Y，并简化结果：

¬((¬A ∨ ¬B) ∧ (¬C ∨ A))

解决此问题的另一种方法是为表达式构造一个真值表，将其放入Karnaugh Map，然后读取由 AND、OR 和 NOT 组成的简化表达式 (Canonical Disjunctive Normal Form).。