用 Mathematica 绘制方程的解

Question

我有一个函数 f(x,t)，我想使用 Mathematica 绘制 f(x(t),t)=0 的解 x(t) 的函数。我该怎么做？

Mathematica 通常与我可以使用的其他编程语言完全不同。通常，我会尝试如下所示：

Create arrays X, T

For t in T do
   solve (numerically) f(x,t)=0, append the solution to X

Plot X

但是，我还不太清楚如何在 Mathematica 中使用循环，数组也是如此，所以我在做这件事时遇到了严重的问题。

有没有一些快速、直接的方法可以用 Mathematica 解决这个问题？如果没有，有人可以帮我解决这个问题吗？

另外，有人对这个问题有更好的标题吗？

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编辑：按照@LutzL 的建议，我会尝试以下方法：

Table[FindRoot[f[x,t]==0,{x,x_0}],{t,start,stop,step}]

这会正常工作吗？

我还有一个问题，因为我的函数f(x,t) 是高度非线性的，因此我想为每个t 输入一个好的起点。具体来说，我知道t=0 的解决方案，我想将t_{n+1} 的解决方案用于t_n 的时间步长。有没有办法做到这一点？

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编辑2：我通过以下方式解决了问题：

tmax = 10; nsteps = 100*tmax;
thrust = {v/2 - g}; angle = {Pi/2};
For[i = 1, i <= nsteps, i++, 
  sol = {thr, \[Theta]} /. 
    FindRoot[{eq1[i*tmax/nsteps], 
      eq2[i*tmax/nsteps]}, {{thr, Last[thrust]}, {\[Theta], 
       Last[angle]}}]; AppendTo[thrust, sol[[1]]]; 
  AppendTo[angle, sol[[2]]]];
ListPlot[Table[{i*tmax/nsteps, thrust[[i + 1]]}, {i, 0, nsteps}]]
ListPlot[Table[{i*tmax/nsteps, angle[[i + 1]]/Pi}, {i, 0, nsteps}]]

eq1 和 eq2 是我的方程式，thrust 和 angle 是解

Answer 1

一种方法是创建一个列表，然后绘制它。

你有x(0)，你想要x(t) for t>0。您可以使用 Szabolcs 提供的表达式：

root(t_NumericQ, x0_):= Module[{z}, z = z /. FindRoot[f[z, t] == 0, {z, x0}]]

然后你计算并绘制一个列表。

list[tin_, tend_, tstep_, x0_] := Module[{z = x0, t = tin}, lis = {}; 
While[t < tend, z = root[t, z]; lis = Append[lis, {t, z}]; t = t + tstep; ];
ListPlot[lis]]

或者您可以将最后一行更改为 x=Interpolation[lis] 和 x[t] 将是解决方案 x(t) 的插值函数

此外，您可以测试x(t) 的其他解决方案是否可以将root[t,z] 替换为RandomReal[{x_1,x_2}]，其中x_1 和x_2 在您要探索的x 空间范围内。