必要和充分 vs 健全性和完整性

Question

我正在努力学习证明。我遇到了这4个术语。我正在尝试将所有内容联系起来。

A: X>Y B: Y<X

Necessary Condition 
             B implies A
Sufficient Condition 
             A implies B

和

A = { set of statements}  Q= a statement

Soundness 
        if A derives Q then A is a logical consequence of Q
Completeness
         if A is a logical consequence of Q then A derives Q.

所有之间的关系是什么？ 感谢您的帮助。

Answer 1

必要/充分与健全性和完整性没有太大关系，因此我将分别解释这两个概念。

必要/充分：

在您的示例中，两个语句是等效的：X>Y 当且仅当Y<X。所以确实是B 隐含A 和A 隐含B。一个更好的例子可能是：

A: X>Y+1
B: X>Y

这里A 将暗示B，即A 将足够 B 持有。另一种方式不成立：B 并不意味着 A（因为您可以拥有 X=10 和 Y=9 在这种情况下只有 B 会成立）。这意味着A 对于B 来说不是必要的。

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完整性/健全性：

当我第一次遇到它时，我花了一些时间才想明白。但这真的很简单！

假设你有以下：

A = { X>Y, Y>Z }
Q = X>Z

现在，soundess 说我们无法通过坚持A 的声明来达到疯狂。更正式地说，如果Q 不成立，它就不能从A 派生而来。或者，只能从A 派生有效的东西。

创建一组不健全的陈述很容易。举个例子

A = { x<Y, X>Y }

它们相互矛盾，因此我们可以通过矛盾证明来推导 X>X（这是错误的）。

完整性表示对偶：所有有效的东西都可以从A派生。假设X、Y 和Z 是世界上唯一的变量，> 是世界上唯一的关系。然后是一组语句如

A = { X>Y, Y>Z }

是完整的，因为对于任何两个给定变量a 和b，当且仅当a>b 实际上成立时，我们才能推导出a>b。

如果我们只有

A = { X>Y }  (and no knowledge about Z)

那么这组陈述将不是完整的，因为会有关于Z的真实陈述，我们无话可说。

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简而言之：健全性表示您不能得出疯狂的结论，完整性表示您可以得出所有合理的结论。