资源分配算法

Question

我知道该算法存在，但我在命名它和找到合适的解决方案时遇到了问题。

我的问题如下：

• 我有一组 J 作业需要完成。

• 完成所有作业需要不同的时间，但时间是已知的。

• 我有一组 R 资源。

• 每个资源 R 可以有 1 到 100 个实例。

• 一个 Job 可能需要使用任意数量的资源 R.

• 一个作业可能需要使用资源 R 的多个实例，但绝不会超过资源 R 拥有的实例。 （如果一个资源只有 2 个实例，则作业永远不需要超过 2 个实例）

• 一旦作业完成，它会将其使用的所有资源的所有实例返回到池中以供其他作业使用。

• 作业一旦开始就不能被抢占。

• 只要资源允许，可以同时执行的作业数量没有限制。

• 这不是有向图问题，作业 J 可以按任何顺序执行，只要它们可以声明其资源即可。

我的目标： 调度作业以最小化运行时间和/或最大化资源利用率的最佳方式。

Answer 1

我不确定这个想法有多好，但您可以将其建模为整数线性程序，如下所示（未测试）

定义一些常量，

Use[j,i] = amount of resource i used by job j
Time[j] = length of job j
Capacity[i] = amount of resource i available

定义一些变量，

x[j,t] = job j starts at time t
r[i,t] = amount of resource of type i used at time t
slot[t] = is time slot t used

约束是，

// every job must start exactly once
(1). for every j, sum[t](x[j,t]) = 1
// a resource can only be used up to its capacity
(2). r[i,t] <= Capacity[i]
// if a job is running, it uses resources
(3). r[i,t] = sum[j | s <= t && s + Time[j] >= t] (x[j,s] * Use[j,i])
// if a job is running, then the time slot is used
(4). slot[t] >= x[j,s] iff s <= t && s + Time[j] >= t

第三个约束意味着如果一个作业最近开始的时间足够长并且它仍在运行，那么它的资源使用量将被添加到当前使用的资源中。第四个约束意味着如果一个作业最近开始的时间足够长以至于它仍在运行，那么就使用这个时间段。

目标函数是槽的加权和，后面的槽具有更高的权重，因此它更喜欢填充早期的槽。理论上，权重必须以指数方式增加，以确保使用较晚的时隙总是比仅使用较早的时隙的任何配置更差，但求解器不喜欢这样，在实践中，您可能可以避免使用增长较慢的权重。

您将需要足够的槽位才能存在解决方案，但最好不要比您最终需要的多太多，因此我建议您从一个贪婪的解决方案开始，以便为您提供一个有希望的不平凡的时间上限插槽（显然还有所有任务的长度之和）。

有很多方法可以获得贪婪的解决方案，例如，只需在最早的时间段内逐一安排作业。通过某种“硬度”来排序它们可能会更好，然后将硬的放在第一位，例如，您可以根据他们使用资源的严重程度给他们打分（例如，Use[j,i] / Capacity[i] 的总和，或也许是最大值？谁知道呢，尝试一些东西）然后按该分数降序排列。

作为奖励，如果您只解决线性松弛问题（允许变量取小数值，不只是 0 或 1）你会得到一个下界，而近似的贪心解决方案会给出上界。如果它们足够接近，您可以跳过代价高昂的整数阶段并采用贪婪解决方案。在某些情况下，如果线性松弛的四舍五入目标与贪心解的目标相同，这甚至可以证明贪婪解是最优的。

Answer 2

这可能是Dykstra's Algorithm 的工作。对于您的情况，如果您想最大化资源利用率，那么搜索空间中的每个节点都是将作业添加到您将立即执行的作业列表的结果。然后，边缘将是您将作业添加到您将要执行的作业列表时留下的资源。

然后，目标是找到具有最小值的传入边的节点的路径。

另一种更直接的方法是将其视为knapsack problem。

要将这个问题构建为背包问题的一个实例，我会执行以下操作：

假设我有 J 工作、j_1, j_2, ..., j_n 和 R 资源，我想找到 J 的子集，以便在安排该子集时，将 R 最小化（我将其称为 @ 987654328@).

在伪代码中：

def knapsack(J, R, J`):
  potential_solutions = []
  for j in J:
    if R > resources_used_by(j):
      potential_solutions.push( knapsack(J - j, R - resources_used_by(j), J' + j) )
    else:
      return J', R
  return best_solution_of(potential_solutions)