命题逻辑的树法

Question

为什么我们不能构造一棵树来测试两个公式的逻辑等价性，就像我们测试有效性一样？因为如果两个公式具有相同的逻辑真值，则否定其中一个公式将关闭树，对吗？

Answer 1

我们可以使用真值树方法来测试逻辑等价性。

2 wffs $\phi$ 和 $\psi$ 在逻辑上等价当且仅当它们的估值相等，即 $v(\phi)=v(\psi)$。这意味着我们可以用通常的方式测试$\vDash\phi\leftrightarrow\phi.$，即看是否可以满足$\lnot(\phi\leftrightarrow\psi)$。

证明

如果 $\phi$ 在逻辑上等价于 $\psi$，那么 $\phi\vDash\psi$ 和 $\psi\vDash\phi$。我们可以将语义演绎定理应用于这两个合取，得到 $\vDash\phi\to\psi$ 和 $\vDash\psi\to\phi$。

对于归约，假设 $\vDash\phi\to\psi$ 和 $\vDash\psi\to\phi$，而 $\nvDash\phi\leftrightarrow\psi$。如果 $\nvDash\phi\leftrightarrow\psi$ 则 $v(\phi)=1$ 且 $v(\psi)=0$，因此 $v(\phi\to\psi)=0$，这与 $ \vDash\phi\to\psi$，或 $v(\phi)=0$ 且 $v(\psi)=1$，因此 $v(\psi\to\phi)=0，这与 $\vDash 矛盾\psi\到\phi$。因此，$\vDash\phi\leftrightarrow\psi$。

鉴于 PL 是健全且完整的，并且逻辑等价的句法证明证明了 $\phi\vdash\psi$ 和 $\psi\vdash\phi$，因此这种情况并不令人惊讶。

顺便说一句，为具有大量分支的特别复杂的 wffs 做两棵树仍然会有所帮助，即测试 $\phi\vDash\psi$ 和 $\psi\vDash\phi$。这样做的原因是在阅读反例/IPLI 时避免错误。

示例$^1$：

1：https://www.umsu.de/trees/