如何将 beta 分布拟合到具有给定均值的数据？

Question

我正在使用 MATLAB 为我的数据拟合 beta 分布。

为此，有几个选项，如fitdist，提供一组a 和b，并且可以使用betastat 或简单地使用mean 和@987654329 访问统计数据（平均值和标准差） @ 命令。

但是，如果我希望我的分布有一个给定的均值，我该怎么办，并且只有标准是未知的。

有一个例子。我有一个可变大小的半直方图，其中定义了中心比率及其概率如下：

central_ratios = [.005 .1 .4 .8   1]; 
probabilities  = [.5   .3 .1 .08 .02];
vul = sum(central_ratios.*probabilities);

现在我想为数据拟合一个“beta 分布”，范围在 [0,1] 之间，平均值等于 vul。我现在只需要最好的std 或a 和b 对。

Answer 1

fitdist 用于 beta 分布从betafit 获取分布参数，它为给定数据的分布设置适当的似然函数，对a 和b 进行一些启发式初始猜测，然后优化@987654326 @ 和 log(b) 使用 fminsearch 最大化可能性。

定义分布均值的约束在a 和b 之间建立了强制关系。 From Wikipedia 均值 mu 与 a 和 b 相关：

mu = 1 / (1 + b/a)

这可以重新排列，以在给定另一个分布参数的情况下给出一个分布参数：

b = a * (1/mu - 1)

要检查 MATLAB 中可用的 beta 分布拟合的无约束实现以及您正在寻求约束，您可以使用以下方法查看 betafit 源代码：

edit betafit

至少在 MATLAB R2018b 中，您会发现 log(a) 和 log(b) 的优化发生在声明：

phat = fminsearch(negloglike,pstart,opts);
phat = exp(phat);

您的约束分布拟合问题可以用此处使用的优化目标函数来描述，这可以让您重用 betafit 行为的其他方面：

negloglike1 = @(loga) negloglike([loga log(exp(loga) * (1/mu - 1))]);

您可以创建自己的 betafit 副本，在调用 fminsearch 之前进行此声明，或者在调用该行后在断点处停止内置 betafit 并声明新的似然函数从命令行。无论哪种方式，您都可以将参数替换为在此约束内最大化可能性的受约束参数：

loga = fminsearch(negloglike1,pstart(1),opts);
phat = exp(loga) * [1 (1/mu - 1)];

生成的 beta 分布参数 phat 将保证产生具有均值 mu 的分布，并在此约束条件下局部最大化您的数据的似然函数。