OpenGL中的三轴四元数旋转

Question

我正在尝试创建一个 OpenGL 程序，其中鸟的模型应该沿着由 Seiffert 的球形螺旋描述的球体表面沿着定义的路径移动。 然而，我一直坚持让旋转正确有一段时间了。

作为第一步，我让小鸟在 x-z 平面上沿着圆形路径前进：

// 1. Circle in x-z plane
float phi =  TWO_PI * t; // t = [0..1]

float x = boundingSphereRadius * cos(phi);
float y = 0.0f;
float z = boundingSphereRadius * sin(phi);

float rotationAngle = glm::orientedAngle(glm::vec3(0.0f, 0.0f, 1.0f),    
                                         glm::normalize(glm::vec3(x, 0, z)),
                                         glm::vec3(0.0f, 1.0f, 0.0f)) - HALF_PI;
glm::fquat rotation = glm::angleAxis(rotationAngle, glm::vec3(0.0f, 1.0f, 0.0f));

固定的-HALF_PI 是必要的，这样鸟儿才能正确对齐。这工作得很好，同样我可以在 x-y 和 y-z 平面上实现圆形旋转。

当我尝试累积所有不同的旋转时，就会出现问题。我试图遵循的路径如下所示：

作为一项要求，鸟的腹部应该始终面向球体表面，并且鸟应该向前飞行。

我目前的方法是这样的，它只包含三个方向四元数的组合：

glm::fquat rotationX  = glm::angleAxis(glm::orientedAngle(glm::normalize(glm::vec3(0.0f, 0.0f, 1.0f)), glm::normalize(glm::vec3(x, 0, z)), glm::vec3(0.0f, 1.0f, 0.0f)) - HALF_PI, glm::vec3(0.0f, 1.0f, 0.0f));
glm::fquat rotationY1 = glm::angleAxis(-HALF_PI, glm::vec3(0.0f, 1.0f, 0.0f));
glm::fquat rotationY2 = glm::angleAxis(glm::orientedAngle(glm::vec3(0.0f, 1.0f, 0.0f), glm::normalize(glm::vec3(x, y, 0)), glm::vec3(0.0f, 0.0f, 1.0f)), glm::vec3(0.0f, 0.0f, 1.0f));
glm::fquat rotationY  = rotationY2 * rotationY1;
glm::fquat rotationZ  = glm::angleAxis(glm::orientedAngle(glm::vec3(0.0f, 0.0f, 1.0f), glm::normalize(glm::vec3(0, y, z)), glm::vec3(1.0f, 0.0f, 0.0f)) + HALF_PI, glm::vec3(1.0f, 0.0f, 0.0f));
glm::fquat rotation   = rotationZ * rotationY * rotationX;

但是，方向变化是完全错误的，并且在某些角度会发生跳跃。

编辑：

我现在正在球体上尝试不同的圆圈，其中需要多次旋转。对于beta = gamma = 0.0f 和alpha = HALF_PI，圆再次位于xz 平面中，rotationAngleXZ 的值正在发生变化，而rotationAngleXY 是-HALF_PI 或HALF_PI，rotationAngleYZ 是0.0f 或PI。我想我在这里遇到了 Gimbal Lock 并且我已经阅读了大量关于它的文章，但是我仍然不确定在这种情况下如何防止它。

// 10. `Arbitrary` circles on sphere surface
// http://math.stackexchange.com/questions/643130/circle-on-sphere
//
// Parameters:
//      alpha = 0...HALF_PI - For alpha = 0, the circle is just a point - For alpha = HALF_PI, the circle is a Great Circle
//      (beta, gamma) = center of circle in spherical coordinates
float phi =  TWO_PI * t;

float x = boundingSphereRadius * ( (sin(alpha) * cos(beta) * cos(gamma)) * cos(phi) + (sin(alpha) * sin(gamma)) * sin(phi) - (cos(alpha) * sin(beta) * cos(gamma)));
float y = boundingSphereRadius * ( (sin(alpha) * sin(beta)) * cos(phi) + cos(alpha) * cos(beta));
float z = boundingSphereRadius * (-(sin(alpha) * cos(beta) * sin(gamma)) * cos(phi) + (sin(alpha) * cos(gamma)) * sin(phi) + (cos(alpha) * sin(beta) * sin(gamma)));

float rotationAngleXZ = glm::orientedAngle(glm::normalize(glm::vec3(0.0f, 0.0f, 1.0f)), glm::normalize(glm::vec3(x, 0, z)), glm::vec3(0.0f, 1.0f, 0.0f));
std::cout << "Rotation Angle XZ = " << rotationAngleXZ << std::endl;
glm::fquat rotationXZ = glm::angleAxis(rotationAngleXZ - HALF_PI, glm::vec3(0.0f, 1.0f, 0.0f));

float rotationAngleXY = glm::orientedAngle(glm::vec3(0.0f, 1.0f, 0.0f), glm::normalize(glm::vec3(x, y, 0)), glm::vec3(0.0f, 0.0f, 1.0f));
std::cout << "Rotation Angle XY = " << rotationAngleXY << std::endl;
glm::fquat rotationXY_Y = glm::angleAxis(-HALF_PI, glm::vec3(0.0f, 1.0f, 0.0f));
glm::fquat rotationXY_Z = glm::angleAxis(rotationAngleXY, glm::vec3(0.0f, 0.0f, 1.0f));
glm::fquat rotationXY = rotationXY_Z * rotationXY_Y;

float rotationAngleYZ = glm::orientedAngle(glm::vec3(0.0f, 0.0f, 1.0f), glm::normalize(glm::vec3(0, y, z)), glm::vec3(1.0f, 0.0f, 0.0f));
std::cout << "Rotation Angle YZ = " << rotationAngleYZ << std::endl;
glm::fquat rotationYZ = glm::angleAxis(rotationAngleYZ + HALF_PI, glm::vec3(1.0f, 0.0f, 0.0f));

glm::fquat rotation = glm::normalize(rotationXZ) * glm::normalize(rotationXY) * glm::normalize(rotationYZ);

Answer 1

您的代码使用欧拉角（轴对齐旋转）。摆动和跳跃是因为欧拉角是 3D 旋转空间的不良参数化。相反，这里有两种替代方法。

通过框架构造旋转矩阵

假设这只鸟在它自己的局部坐标系中指向 x 轴下方和上方。

让p = [x y z] 成为小鸟的位置。令 v 为其速度向量。让

f = v/|v|
up = p/|p|
s = cross(f, up)

现在构造具有 f、up、s 行的矩阵。具体来说：

[  f[0]   f[1]  f[2] ]
[ up[0]  up[1] up[2] ]
[  s[0]   s[1]  s[2] ]

然后通过 GLM 的quat_cast 函数生成一个四元数。

避免使用 gluLookAt，因为它使用已弃用的固定函数矩阵堆栈。

通过旋转（四元数）构建

让R0 是从i 到f 的轮换。 （角度为acos(dot(i,f))，轴为cross(i,f)）

让R1 是从R0*j 到up 的轮换。 （使用矩阵乘法符号，因为在这种情况下更容易）

让R2 是从R1*R0*k 到s 的轮换。

最后的轮换应该是R2*R1*R0。检查这个旋转是否等于上面的矩阵。

Answer 2

我没有现成的代码给你，但是这个想法怎么样？假设您已经有了作为 t 函数的鸟的 x、y、z 位置的公式（Seiffert 的球形螺旋）。那么：

eye    = fn(t)
center = fn(t + dt) // where will the bird be in the next time-step
up     = normalize(eye - sphereCenter)

现在，gluLookAt(eye, center, up) 将提供一个矩阵，您应该可以使用它来定位您的鸟。

此参考可能也有帮助：https://gamedev.stackexchange.com/questions/41940/how-does-glulookat-work。

希望这会有所帮助，

--罗杰