从给定向量生成矩阵

Question

我试图在 Matlab 中生成一个特定类型的矩阵。

我需要根据以下规则针对特定类型的数据进行修改：

• 首先我必须选择一个等级g（假设最多6个）然后我必须选择每行元素的数量n（最多18个）；

• 这些数字是等级g的特定多项式的幂；

• 矩阵中每行的总和不允许大于选择的g等级；

• 每行最大的元素是选中的g。

对于g = 2、n = 2，矩阵将如下所示：

A = [0 0; 
     0 1; 
     1 0; 
     0 2; 
     2 0; 
     1 1]

对于g = 2、n = 3，矩阵将如下所示：

A = [0 0 0; 
     0 0 1; 
     0 0 2; 
     0 1 0; 
     0 2 0; 
     1 0 0; 
     2 0 0; 
     0 1 1; 
     1 0 1;
     1 1 0]

如何生成数组元素的所有可能组合？

Ex : given v = [0 1 2];

Result = [0 0 0;
          0 0 1;
          0 1 0;
          0 1 1;
          1 0 0;
          1 0 1;
          1 1 0;
          1 1 1;
          0 0 2;
          0 2 0;
          2 0 0;
          2 0 1;
          2 1 1;
          2 1 2;
            ...]
and so on...

我已经用perms、nchoosek、repelem、repmat、for-loops、unique、matrix concatenations 尝试了这个，但我无法找到和算法。

Answer 1

您可以先通过重复和重新排列生成[0..g] 的所有n 排列，然后选择允许的组合：

% all n permutations of [0..g] (with repetition and rearrangement)
powers = unique(nchoosek(repmat(0:g, 1, n), n), 'row');
% allowed set of powers
powers = powers(sum(powers, 2) <= g, :);

正如我在 cmets 中已经说过的，上面的代码在时间和内存上都非常低效。例如，当我为g=6 和n=9 运行它时，MATLAB 给出以下错误：

使用零时出错请求的 23667689815x9 (1587.0GB) 数组超出 最大数组大小首选项。
...

要减少内存消耗，您可以执行以下操作：

% all n permutations of [0..g] (with repetition)
gPerms = nmultichoosek(0:g, n);
% allowed set of powers
allowed = gPerms(sum(gPerms, 2) <= g, :);
% all permutations of [1..n] (no repetition)
nPerms = perms(1:n);
% all n permutations of [0..g] (with repetition and rearrangement)
arranges = arrayfun(@(i) allowed(:, nPerms(i, :)), ...
    1:size(nPerms, 1), 'UniformOutput', false)';
powers = cell2mat(arranges);
% unique set of permutations
powers = unique(powers, 'rows');

在上面的代码中，使用@knedlsepp's implementation 生成第一个具有g 重复的n 排列。过滤后仅保留其总和小于或等于g 的组合。在下一步中，计算这些组合的所有重排。在这里找到 g=6 和 n=9 案例的 5005 组合仍然需要超过 13 秒。