如何在不使用数组的情况下打印 N 位数字的所有可能组合？

Question

我强调的是不使用数组。这有什么数学推导吗？

Answer 1

您可以使用"Gosper's hack" 处理二进制数，但您会受到机器字长的限制，您可以通过这种方式生成/表示组合的大小。

// find next k-combination
bool next_combination(unsigned long& x) // assume x has form x'01^a10^b in binary
{
  unsigned long u = x & -x; // extract rightmost bit 1; u =  0'00^a10^b
  unsigned long v = u + x; // set last non-trailing bit 0, and clear to the right; v=x'10^a00^b
  if (v==0) // then overflow in v, or x==0
    return false; // signal that next k-combination cannot be represented
  x = v +(((v^x)/u)>>2); // v^x = 0'11^a10^b, (v^x)/u = 0'0^b1^{a+2}, and x ← x'100^b1^a
  return true; // successful completion
}

使用第一个k-组合初始化x，即x = (1L<<k) - 1L（k ones 已设置）

这是做什么的：

1. 使用组合的两种不同表示形式 a) 作为选择和 b) 作为二进制数
2. 使用gray coding（或最小变化编码）从一个组合（二进制数）移动到下一个组合（二进制数），在二进制表示中保持相同数量的ones
3. 最终所有组合都以这种方式生成（但不是按字典顺序）

有关组合的更多数论表示，请参阅Combinatorial number system，它将组合表示为整数，即从组合到整数的双射（如果您想在不明确使用数组的情况下使用严格的算术）

Answer 2

十进制整数本质上是一个数字数组。一些简单的数学运算将允许对整数中的这些数字进行索引，就像任何其他数组一样。

以下 python 示例代码将利用这一事实完全满足您的需求：

#!/usr/bin/python3

def getNumDigits(number):
    if number == 0:
        digits = 1
    else:
        digits = 0
        while number > 0:
            digits += 1
            number //= 10
    return digits

def getDigitAtPosition(position, number):
    return (number // (10**position)) % 10

def swapDigits(number, position_one, position_two):
    digit_one = getDigitAtPosition(position_one, number)
    digit_two = getDigitAtPosition(position_two, number)
    difference = digit_one - digit_two
    return number + (difference * 10**position_two) - (difference * 10**position_one)

def sortNumber(number, num_digits=None):
    if num_digits is None:
        num_digits = getNumDigits(number)
    for i in range(num_digits-1):
        for j in range(i+1, num_digits):
            if getDigitAtPosition(j, number) < getDigitAtPosition(i, number):
                number = swapDigits(number, i, j)
    return number

def isDigitInNumber(digit, number):
    for i in range(getNumDigits(number)):
        if getDigitAtPosition(i, number) == digit:
            return True
    return False

def printCombinations_sorted(number, prepend, num_digits):
    if num_digits == 1:
        print(number + (prepend * (10**num_digits)))
    else:
        lead_position = num_digits-1
        lead_digit = getDigitAtPosition(lead_position, number)
        digits_swapped = lead_digit
        printCombinations_sorted(number % 10**(lead_position), (prepend*10) + lead_digit, num_digits-1)
        for i in range(num_digits-1):
            sub_number = swapDigits(number, num_digits-1, num_digits-2-i)
            sub_lead_digit = getDigitAtPosition(lead_position, sub_number)
            if not isDigitInNumber(sub_lead_digit, digits_swapped):
                digits_swapped = digits_swapped*10 + sub_lead_digit
                printCombinations_sorted(sub_number % 10**(lead_position), (prepend*10) + sub_lead_digit, num_digits-1)

def printCombinations(number):
    num_digits = getNumDigits(number)
    number = sortNumber(number, num_digits)
    printCombinations_sorted(number, 0, num_digits)

if __name__ == "__main__":
    number = 101010
    printCombinations(number)

由于没有指定是否允许重复数字，所以我假设它们会这样写。如果不是这样，它可以简化很多。