如何计算从 1 到 N 的数字范围内所有可能组合的数量？答案

【问题标题】：How to calculate the number of all possible combinations for a range of numbers from 1 to N?如何计算从 1 到 N 的数字范围内所有可能组合的数量？
【发布时间】：2015-06-15 14:06:35
【问题描述】：

除了这样做：

from itertools import combinations
def brute_force(x):
    for l in range (1,len(x)+1):
        for f in list(combinations(range(0,len(x)),l)):
            yield f
x = range(1,18)
len(list(brute_force(x)))

[出]：

如何数学计算所有可能组合的数量？
有没有一种方法可以在不列举可能的组合的情况下进行计算？

【问题讨论】：

itertools.combinations: 返回的项目数是n！ /r！ /（n-r）！当 0 n 时为零。 你为什么要将 combinations(range(0,len(x)),l) 转换为 list？

标签： python math combinations itertools

【解决方案1】：

总是有 2ⁿ-1 个非空子集 {1,...,n}。

例如考虑列表['a','b','c']：

>>> [list(combinations(['a','b','c'],i)) for i in range(1,4)]
[[('a',), ('b',), ('c',)], [('a', 'b'), ('a', 'c'), ('b', 'c')], [('a', 'b', 'c')]]
>>> l=[list(combinations(['a','b','c'],i)) for i in range(1,4)]
>>> sum(map(len,l))
7

我们的列表长度为 3，所以我们有 2³-1=7 个组合。

对于range(10)：

>>> l=[list(combinations(range(10),i)) for i in range(1,11)]
>>> sum(map(len,l))
1023      #2^10-1 = 1024-1=1023

请注意，如果您想计算空子集，您可以使用 2^n。

实际上是从数学的角度来看：

集合的 k 组合是 S 的 k 个不同元素的子集。如果集合有 n 个元素，则 k 组合的数量等于 binomial coefficient：

对于所有组合：

【讨论】：

注：这是正确的答案。 OP 不只是生成固定大小的组合，而是对 all 组合求和。（也就是说，不仅仅是choose(n, k)，而是sum(choose(n,k), k=1..n)）。
为什么是“-1”呢？空集对你犯了什么罪？ ;)
是的，开个玩笑。您可能希望链接到 Wikipedia 中的 Binomial Theorem 页面。我们可以代入 x=1 和 y=1 并轻松证明 2^n = comb(n,0) + comb(n,1) + ... comb(n,n)
@ypercube ;)，我就是这么做的！固定！

【解决方案2】：

假设您有一个来自[1, 10) 的列表，并且您想选择3 的项目

数学

>>> math.factorial(9) // (math.factorial(3) * math.factorial(6))
84

这是combinations的定义

_____n!_____
 k!(n - k)!

所以作为一个通用函数

def num_combinations(n, k):
    return math.factorial(n) // (math.factorial(k), math.factorial(n-k))

蛮力

>>> len(list(itertools.combinations(range(1,10), 3)))
84

【讨论】：

您可能希望使用// 而不是/，否则您将在 Python 3 上得到不正确的结果。