如何找出一次取r的前n个自然数的所有组合的乘积之和？n和r都是常数[重复]答案

【问题标题】：How to find out the sum of products of all combinations of first n natural numbers taken r at a time?n and r are both constants [duplicate]如何找出一次取r的前n个自然数的所有组合的乘积之和？n和r都是常数[重复]
【发布时间】：2016-02-03 19:40:17
【问题描述】：

假设 n=10，r=3，那么我想找到从 1 到 10 一次取 3 的数字的乘积之和，以及所有考虑的组合。将有 nCr 可能的乘积，我想要它们的总和.

【问题讨论】：

你能举个例子吗？ “一次取 3 个数字的乘积”有点模糊。
这个问题比较适合math.stackexchange.com。此外，您应该努力自己解决问题；如果看起来你只是想让他们给你答案，人们就不会想帮助你。
@ScottHunter 假设 n=4 和 r=2，那么我想找到：[1.2+1.3+1.4+1.5+2.3+2.4+2.5+3.4+3.5+4.5] 即所有的总和前 5 个自然数的乘积组合，一次取 2 个
@RobertDodier 我自己尝试了这个问题几个小时，当我无法解决时，我才在这里问。
@RobertDodier 我自己尝试了这个问题几个小时，当我无法解决时，我才在这里问。

标签： math

【解决方案1】：

你想要的是7次系数

(x+1)(x+2)·…·(x+10)

您可以在 O(n²) 运算中通过一个接一个地添加一个因子来计算该多项式的所有系数。

关于从根计算系数，请参阅How to efficiently find coefficients of a polynomial from its roots?、Efficient calculation of polynomial coefficients from its roots、Find the coefficients of the polynomial given its roots

【讨论】：

你能说明如何计算这个系数吗？

【解决方案2】：

S(n, m) 的重复出现，其中S 是您想要的总和：S(n + 1, m) = S(n, m) + (n + 1)*S(n, m - 1)，S(n, 1) = n*(n + 1)/2 和 S(m, m) = m!。

术语(n + 1)*S(n, m - 1) 来自总和中的附加术语，这些附加术语是通过将n 增加1 产生的：这些术语是您为S(n, m - 1) 获得的所有术语（即在乘积中少一个术语）和将n + 1 附加到每个。

我一般不知道如何解决这样的重复问题。在这种情况下，我将构建一个术语表S(n, m)，它看起来像一个三角形。底行是S(n, 1)，即n*(n + 1)/2。对角线为S(m, m)，即m!。因此，您可以尝试猜测给出表格中一般条目的公式，然后将它们全部加起来。

为n 和m 的特定值计算S(n, m) 的Python 程序可能如下所示：

import math
def S(n, m):
  if m == 1:
    return n*(n + 1)/2
  elif n == m:
    return math.factorial(m)
  else:
    return S(n - 1, m) + n*S(n - 1, m - 1)

我相信，这大约需要 m*n 对 S 的唯一调用（但有很多重复项）。当然，用其他语言编写它很容易。

例如，S(10, 3) = 18150。

编辑：修改了估计的操作数。

【讨论】：