子序列和和GCD

Question

大约一个月前，我在一次编程挑战中遇到了这个问题，但社论没有发布，所以我在这里问。

有一个大小为 N 的数组 A。求 A 的 K 个长度子序列的总和 * GCD。

例子：

如果 A = [1, 2, 3] 且 K = 2，

{1, 2} = 3(sum) * 1(GCD) = 3

{1, 3} = 4(sum) * 1(GCD) = 4

{2, 3} = 5(sum) * 1(GCD) = 5

答案 => 3 + 4 + 5 = 12

Answer 1

这是从头开始的（虽然没有彻底测试）：

令C[k, i, d] 为A[1..i] 的所有k-length 子序列的数量，使得它们的GCD 等于d。

然后

C[k, i, d] = Sum(C[k - 1, i - 1, d']) + C[k, i - 1, d]

求和是所有d' 的总和，这样gcd(A[i], d') = d。

第一项（总和）对应于我们从A[1..i-1] 获取所有序列并将A[i] 附加到它们的情况。最后一个术语 - 当我们不包括 A[i] 时。

令S[k, i, d] 为A[1..i] 的所有k-length 子序列的总和，使得它们的GCD 等于d。

然后

S[k, i, d] = Sum(C[k - 1, i - 1, d'] * A[i] + S[k - 1, i - 1, d']) + S[k, i - 1, d]

总和是所有d' 使得gcd(A[i], d') = d。

然后有了S[k, i, d] 并知道所有可能的d 值，我们就可以计算出所需的值。