实现伪多项式 DP 子集和答案

【问题标题】：Implementing Pseudopolynomial DP Subset Sum实现伪多项式 DP 子集和
【发布时间】：2019-10-30 15:31:37
【问题描述】：

我尝试实现在 Wikipedia 页面上为 pseudo-polynomial time algorithm for subset sum 提出的算法，我们的目标是确定是否存在总和为零的 {x_1, ..., x_N} 的非空子集。因此，我们设置了一个从负数之和 (A) 到正数之和 (B) 的范围，并创建一个矩阵来保存 1 ≤ i ≤ N 和 A ≤ s 的值 Q(i, s) ≤乙。然后为了填充它，我们应该首先设置 Q(1, s) := (x_1 == s)，对于递归情况，我们设置 Q(i, s) := Q(i − 1, s) 或 ( xi == s) 或 Q(i - 1, s - xi)，对于 A ≤ s ≤ B。

这是我的想法，其中 inp 包含输入集。我在变量 arrindex 中跟踪 s 的“真实”索引，因为 s 可能是某个负数，我无法将向量索引为负数。

vector<vector<bool>> result (inp.size(), vector<bool>(abs(B-A)+1)); // initialize results matrix
for(int s = A,arrindex=0; s <= B; s++,arrindex++){
    if(s == inp[0])
        result[0][arrindex] = true;
for(int i = 1; i < inp.size(); i++){
    for(int s = A,arrindex=0; s <= B; s++,arrindex++){
        // CHECK: Q(i, s) := Q(i − 1, s) or (xi == s) or Q(i − 1, s − xi),  for A ≤ s ≤ B
        if(s == inp[i] || result[i-1][arrindex] || result[i-1][abs((s - inp[i])-A)])
            result[i][arrindex] = true;
    }
}

我的尝试给出了答案，但它似乎常常是不正确的。举个简单的例子，如果我的输入是{-2, 1}，答案应该是no，但是我得到的矩阵是

1 0 0 0
1 1 0 1

我认为这表示“是”，对吧？所以我的问题是，我是否错误地实施了这一点？还是我解释错了？

【问题讨论】：

为什么会显示“是”？答案是Q(N, 0)，它对应于矩阵中的第二行（两个输入值）和第三列（-2、-1、0、1）。

标签： c++ algorithm dynamic-programming subset-sum

【解决方案1】：

我认为result[i - 1][abs((s - inp[i]) - A)] 这个词是不正确的。应该是：

A <= s - inp[i] && s - inp[i] <= B && result[i - 1][s - inp[i] - A]

您可以避免嵌套vectors，使用简单的 lambda 函数来模拟矩阵：

const auto n_rows = inp.size();
const auto n_cols = static_cast<std::size_t>(B - A + 1);
auto q = [qm = std::vector<bool>(n_rows * n_cols), n_rows, A]
         (auto i, auto j) mutable
         { return qm[i + (j - A) * n_rows]; };

for (auto j = A; j <= B; ++j)
    q(0, j) = (inp[0] == j);

for (std::size_t i = 1; i < n_rows; ++i)
    for (auto j = A; j <= B; ++j)
        q(i, j) = (inp[i] == j || q(i - 1, j) || 
                  (A <= j - inp[i] && j - inp[i] <= B && q(i - 1, j - inp[i])));

const bool has_zero_subset = q(n_rows - 1, 0);

【讨论】：