计算其乘积不能被 k 整除的子数组的数量

Question

给定一个数组，我想计算其乘积不能被 k 整除的子数组（连续）的数量。

例如。设 A = [1, 2, 3, 4, 5, 6] 和 K = 2

那么乘积不能被K整除的子数组的个数为2：

{1}
{3}
{5}

其余的都可以被 2 整除。

{1, 2}
{1, 2, 3}
{1, 2, 3, 4}
{1, 2, 3, 4, 5}
{1, 2, 3, 4, 5, 6}
{2}
{2, 3}
{2, 3, 4}
{2, 3, 4, 5} etc..

我尝试首先计算子数组的总数 (n)(n+1)/2，然后使用 mod 减去可被 k 整除的子数组的数量，但它不起作用。我该如何解决这个问题？

这会计算（错误地）乘积可被 K 整除的子数组的数量：

int curr = 1;
    int x = 0;
    for (int i = 0; i < a.length; i++) {
        curr = curr * a[i] % k;
        if (curr == 0) {
            curr = 1;
            if (x > 0)
                ans = ans.subtract(NumberUtils.nChooseR(x + 1, 2));
            if (a[i] % k != 0) {
                x = 1;
            } else {
                x = 0;
            }
        } else {
            x++;
        }
    }
    if (x != 0) {
        ans = ans.subtract(NumberUtils.nChooseR(x + 1, 2));
    }
    return ans;

一个稍微相关的问题是this one，但它涉及到加法，所以不能在这里应用。

编辑：数组大小限制为 10^5，数组元素限制为 10^9。因此，我正在寻找线性或线性时间的解决方案

Answer 1

“大局”：

1. 很容易看出，如果[l, r] 子数组的乘积可以被K 整除，那么[l, r + 1] 和[l - 1, r] 的乘积也是如此。

1234563到零模 K)。这样，我们将获得从左指针位置开始并且其乘积可以被 K 整除的子数组的数量。答案将只是左指针所有值的总和。

2. 问题：我们无法明确存储产品（它太大）。我们也不能进行模运算，因为移动左指针需要模除法。我们可能没有逆。

解决方案 1：

让我们使用分段树来计算任意子数组在O(log N)时间的乘积模K（我们只是构建树并将相应范围模K的乘积存储在每个节点中。现在我们只需将这些相乘查询范围分解成的所有节点的值（模 K）。我们可以使用两个指针，因为我们可以有效地计算任何子数组模 K 的乘积。

解决方案 2：

分而治之。

让我们将数组分成（几乎）相等的两半，并递归地解决每一半的问题。现在我们只需要计算从前半部分开始到第二部分结束的好的子数组的数量。但是每个这样的子数组的乘积是[l, m] 和[m + 1, r] 部分的乘积（所有计算都以 K 为模）。但是m 是固定的（它是拆分数组的位置）。因此，我们可以在线性时间内预先计算所有l 的[l, m] 的乘积和所有r 的[m + 1, r] 的乘积。现在我们可以再次使用两个指针（它们分别初始化为 0 和 m + 1）。我们可以在线性时间内“合并”两半，所以总时间复杂度又是O(N log N)。