按数字1排序的编码系统

Question

我想到了一个编码系统。 arr[(encoded code)]=(decoded code) 关注：

• arr 是一个二进制非负整数数组，小于 2^16 (pow(2, 16))。

• arr[0]=0

• 每个arr[1...16] 都有一个 1。（1、10、100、1000...）
• 每个arr[17...136] 有两个1。 （11、101、110、1001...）

• 每个arr[137...696] 都有三个1。 （111、1011、1101、1110……）

• ...arr[(sum of 16C(n-1))...(sum of (16Cn))-1] 中的每个二进制文件都有n 1s。

• 每个arr[65519...65534] 都有十五个 1。
• arr[65535] 是 2^16-1 (1111 1111 1111 1111)。

我没有决定如何在每个部分中排序，这没关系。 （但是，节应按 1 的数量排序。）合适的编码-解码算法将决定如何排序。 （例如，如果算法没问题，它可以是arr[1]=4、arr[2]=2 和arr[3]=8。）

我想制作一个编码函数和解码函数而不在这个表中搜索。有什么好的解决方法和排序方法吗？

Answer 1

让我们让C(i, j) 成为长度为i 的二进制字符串的计数，恰好是j 1s。这是众所周知的choose函数，计算为i! / (j! * (i-j)!)。

让我们按如下方式对它们进行排序。首先是C(16, 0)，没有1s。然后是C(16, 1) 和一个1。然后是C(16, 2) 和两个1s，依此类推。在一个组中，我们按字典顺序排序。因此，在C(16, 2) 组中，我们将C(15, 2) 与两个尾随1s 和一个前导0 放在一起，然后将C(15, 1) 与一个前导1 和一个尾随1 放在某处。

现在给定一个二进制字符串，在它之前有哪些？如果这个有i ，则所有1s 较少的那些是C(16, 0) + C(16, 1) + ... + C(16, i-1)。然后对于字符串中的每个1，我们知道有多少匹配到那个位置，在那里有一个0，其余的1s 稍后。这是以前的一组。这些都是以前的，所以把它们加起来，我们就知道这个位置了。这个计算最多需要 16 个步骤来计数，1s 更少，@987654347 最多需要16 步骤@s 在二进制数中最多 32 步。

那另一种方式呢？我们首先继续减去f(16, 0)、f(16, 1)，等等，直到我们找出二进制数中必须有多少1s。然后我们从左边开始，继续找出每个数字之前是否需要足够的数字，我们可以放入1 并减去我们找到的组，或者这里是否应该有0。同样，这最多需要 32 个步骤。