树的寻找中心

Question

我有一个问题，这是我的程序的一部分。

对于一棵树 T=(V,E)，我们需要在树中找到节点 v，它使从 v 到任何其他节点的最长路径的长度最小。

那么我们如何找到树的中心呢？是否只能有一个或多个中心？

如果有人可以为此提供好的算法，我可以了解如何适应我的程序。

Answer 1

有两种方法可以做到这一点（两者同时运行）：

• 使用 BFS（我将在此处描述）
• 使用FIFO queue。

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选择树上的任何顶点v1。从这个顶点运行BFS。您将进行的最后一个顶点 (v2) 将是距离 v1 最远的顶点。现在运行另一个 BFS，这次从顶点 v2 获取最后一个顶点 v3。

从v2 到v3 的路径是树的直径，而你的中心位于树的某个位置。更准确地说，它位于它的中间。如果路径有2n + 1 点，则只有1 个中心（在n + 1 位置）。如果路径有2n点，则n和n + 1位置会有两个中心。

您只使用了 2 个在 2 * O(V) 时间运行的 BFS 调用。

Answer 2

考虑一棵有两个节点的树？哪个是中心？任何一个都足够了，因此一棵树可以有多个中心。

现在，想想成为中心意味着什么。如果所有分支的高度相同，则中心是根（所有路径都经过根）。如果分支的高度不同，则中心必须是根或在具有最大高度的分支中，否则最大路径大于最高分支的高度，根将是更好的选择。现在，我们需要从最高的树枝往下看多远？最高分支（从根）和下一个最高分支之间高度差的一半（如果差异最多为 1，根就足够了）。为什么，因为当我们沿着最高的分支向下一级时，我们将到下一个最高分支的最深节点的路径加长了一级，并将到当前分支中最深节点的距离减少了一级。最终，当您穿过深度差异的一半时，它们将相等。现在，当我们沿着最高的分支走下去时，我们只需要在每一层选择最高的子分支。如果不止一个高度相同，我们就随意选择一个。

本质上，您所做的是在图中找到最长的路径，即树的最高分支与下一个最高分支之间的距离，然后找到该分支上的中间节点。因为可能存在多条与最长路径长度相同的路径，并且最长路径的长度可能是偶数，所以您有多个可能的中心。

Answer 3

我不会为你做这个家庭作业问题，而是通过思考过程来询问你得到答案的过程......

1) 你会如何处理图 a-b-c（三个顶点，两条边，并且绝对是非循环的）？想象一下，您必须在某些顶点上放置一些标签，您知道您将在“中心”顶点上获得最长路径的最小值。 （b，最终标签为“1”）但一步完成需要精神力量。所以问问自己，离 b 有 1 步之遥。如果到 b 的最长路径是 1，而我们只是沿着那条路径向后退了一步，那么到目前为止我们的路径长度是多少？ （最长路径 = 1，后退一步为 -1。啊哈：0）。所以那一定是叶子的标签。

2) 作为算法的第一次切割，这意味着什么？标记叶子“0”，标记它们的上游“1”，标记它们的上游“2”等等。从树叶中走进来，边走边数距离……

3) 嗯...我们的图 a-b-c-d 有问题。 （从现在开始，标记的顶点将被其标签替换。）标记叶子“0”给出0-bc-0......我们不能得到两个中心......哎呀，我们在更简单的情况下做什么条件 0-b-1？我们想用“1”和“2”来标记b……以相反的顺序处理它们……

在 0-b-1 中，如果我们将 b 左侧的路径延长 1，则得到长度为 1 的路径。如果将 b 右侧的路径延长，则得到 2。我们要跟踪“从 v 到任何其他节点的最长路径”，所以我们要跟踪到 b 的最长路径。这意味着我们将 b 标记为“2”。

 0-b-1 -> 0-2-1 

在 0-b-c-0 中，计算机实际上并没有同时更新 b 和 c。它更新其中一个，给出 0-1-c-0 或 0-b-1-0，下一次更新给出 0-1-2-0 或 0-2-1-0。 b 和 c 都是该图的“中心”，因为它们中的每一个都满足“树中的节点 v 最小化从 v 到任何其他节点的最长路径的长度”的需求。 （长度为 2。）

这导致另一个观察结果：计算的结果不是标记图，而是找到我们标记的最后一个顶点和/或以最大标签结束的顶点。 （有可能我们找不到订购标签的好方法，所以我们最终需要找到最后的最大值。或者也许我们会。谁知道呢。）

4) 所以现在我们有类似的东西：制作图表的两个副本——带标签的副本和烧毁的副本。第一个将存储标签，它将在其中包含最终答案。随着我们从中删除未标记的顶点（以找到新的可标记顶点），烧毁副本将变得越来越小。 （还有其他组织方法，以便只使用图表的一个副本。当您对这个答案的理解结束时，您应该找到一种减少这种浪费的方法。）大纲：

标签 = 0 而燃尽图是非空的 将燃尽图中的所有叶子收集到集合 X 中 对于集合 X 中的每个叶子 如果叶子没有标签 设置叶子的标签（标签的当前值） 从燃尽图中删除叶子（这些叶子是输入图中同一叶子的两个副本） 标签 = 标签+1 找到具有最大标签的顶点并将其返回

5) 如果您实际观看此运行，您会发现一些走捷径的机会。包括将大纲最后一行的搜索替换为更快的方法来识别答案。

现在是算法问题的一般策略提示：
* 手工做几个小例子。如果你不明白如何做小案子，你不可能直接跳进去告诉计算机如何做大案子。 * 如果上述任何步骤似乎没有动力或完全不透明，您将需要更加努力地学习计算机科学。可能是计算机科学不适合你...