计算 T(n) 的复杂度？ [复制]答案

【问题标题】：Calculate Complexity of T(n)? [duplicate]计算 T(n) 的复杂度？ [复制]
【发布时间】：2020-11-06 20:34:22
【问题描述】：

鉴于： T(n) = T(n/10) + T(an) + n 用于某些 a（我对其价值一无所知），并且：T(n) = 1 如果 n < 10。

我想检查以下是否可能（对于一些a 值，我想找到可能的最小 a）：

对于每一个c > 0，都有一个n<sub>0</sub> > 0，这样对于每一个n > n<sub>0</sub>，T(n) >= c * n i> 或者换句话说 T(n)=omega(n)

感谢任何帮助。

【问题讨论】：

您好，能否接受我的回答，谢谢。

标签： function recursion tree time-complexity big-o

【解决方案1】：

假设 a

T(n) = 1 ≤ n ≤ cn.

归纳地，对于 n ≥ 10，

T(n)
= T(n/10) + T(an) + n
≤ cn/10 + can + n
= c(1/10 + a + 1/c)n
≤ c(1/10 + a + 9/10 - a)n
= cn.

现在假设 a = 9/10。对于 1 ≤ n

T(n) = 1 > n log10 n - n.

归纳地，对于 n ≥ 10，

T(n)
= T(n/10) + T(9n/10) + n
> (n/10) log10 (n/10) - (n/10) + (9n/10) log10 (9n/10) - (9n/10) + n
= (n/10) log10 (n/10) + (9n/10) log10 (9n/10)
> (n/10) log10 (n/10) + (9n/10) log10 ( n/10)
= (n/10) (log10 n - 1) + (9n/10) (log10 n - 1)
= n log10 n - n.

给定 c > 0，选择 n0 使得 log10 n0 - 1 = c，即 n0 = exp10(c + 1)。那么对于所有 n > n0，

T(n) > n log10 n - n = n(log10 n - 1) > n(log10 n0 - 1) = cn.

【讨论】：

【解决方案2】：

对于每一个 c > 0 有 n0 > 0 使得对于每一个 n > n0，T(n) >= c*n

我们假设 T(n) >= cn 对于某些 a 和每个 c > 0 成立。

将不等式中的递推代入并求解a，可以得到：

T(n) >= c*n

(c*n/10) + (c*a*n) + n >= c*n 

a >= (9/10) - (1/c)

由于我们期望的结果是对所有 c 都成立（正式应用极限 c 趋于无穷大，这是 RHS 将最大化的地方），我们得到 a >= (9/10)。因此，a 的最小值是 (9/10)，它将满足所有 c 的 T(n) >= c*n。

在此之后，你可以通过归纳证明，确实是这样。

【讨论】：

【解决方案3】：

在每个函数中，您需要找到方程的最高影响变量。在大尺度上，影响这个函数的最小可能 N 是任何常数。

【讨论】：