如何在 python 中创建“台球”反射边界条件？

Question

根据 Erwin Schrodinger（在什么是生命？）中，扩散可以完全用粒子的随机运动来解释。我想通过创建一个程序来测试这一点，该程序创建一个封闭容器中“气体分子”扩散的时间步长可视化。初始条件将有两个分区，一个具有低浓度，一个具有高浓度。在 t0 之后，隔板被移除，气体被允许扩散。我想使用的唯一机制是向每个分子添加位移随机向量。初始条件如下所示。

我不知道的部分问题是如何在分子撞击边界表面时创建简单的台球类型反射。我假设简单的对称反射（角度输入=边界处的角度）。我根本没有开始编写代码，因为我不知道如何处理这部分，而我知道如何完成其​​余部分。我知道这更像是一个数学问题，但是如何在 python 中创建这些边界条件？理想情况下，我希望自己编写这个功能以便我能理解它，而不是使用可以做到这一点的预构建包。对于任何给定的分子，这就是我正在寻找的东西。

最终，我真正需要的是：给定初始位置 (x1,y2)、向量幅度 v、角度 theta 以及盒子大小和位置，分子的最终静止位置是什么 (x2, y2)。

Answer 1

您不需要计算反射角，只需将问题分解为两种：一种用于x，一种用于y。在这两种情况下，您都需要粒子在超出边界时“返回”。

这一次我已经完成了一项研究流体中粒子密度的练习。最简单的事情是考虑两个方向的 (0, 1) 边界。下面的代码应该做到这一点（提示：正确使用abs 将创建等效的反射）：

x0 = [.1, .9]
delta = [-0.2, 0.3]
x1 = [(1-abs(abs(xi + di)-1)) for xi, di in zip(x0, delta)]
print(x1)
# 0.1, 0.8
#or using numpy:
x1 = 1-np.abs(np.abs(np.asarray(x0) + np.asarray(delta))-1)
print(x1)
>> [0.09999999999999998, 0.8]
   array([0.1, 0.8])

我从您的问题中假设您忽略了粒子-粒子碰撞和粒子-粒子“非叠加”

Answer 2

这是一个简单的实现。我只每十步更改一次运动矢量，这样就可以直观地检查边界反射。更新运动矢量时，粒子会闪烁红色。

ħere 描述的技巧是“展开”边界框。相反，我们让粒子不受约束地移动，然后将空间折叠到边界框内。

import numpy as np
import pylab
from matplotlib.animation import FuncAnimation

xy = np.random.uniform(-1, 1, (2, 200))
xy[0, :160] = np.abs(xy[0, :160])
xy[0, 160:] = -np.abs(xy[0, 160:])
xy += 1

f, a = pylab.subplots()
pxy, = pylab.plot(*xy, 'o')

def init():
    a.set_xlim(0, 2)
    a.set_ylim(0, 2)
    return pxy,

def update(frame):
    global inc, xy
    if frame % 1 < 0.01:
        inc = np.random.normal(0, 0.01, xy.shape)
        pxy.set_markerfacecolor('red')
    elif frame % 1 < 0.11:
        pxy.set_markerfacecolor('blue')        
    xy += inc
    fxy = np.abs((xy+2)%4-2)
    pxy.set_data(*fxy)
    return pxy,

anim = FuncAnimation(f, update, frames=np.arange(1200) / 10,
                     init_func=init, blit=True)

pylab.show()

Answer 3

所以要记住几件事：

1. 您需要一个摩擦组件，否则粒子将永远保持移动（能量守恒）。在这种情况下，摩擦力是速度的函数，反弹时也会发生摩擦力。

2. 如果它只是一个粒子，你可以通过定义边界框来计算它，比如 x 介于 0 和 5 之间，y 介于 0 和 3 之间。然后，您可以通过插入 x = 5 值，然后在直线方程中求解 y 来计算与墙的截距。

对于一个粒子，您不必以 t_0 为增量进行参数化处理，您可以计算截距并将其放大到那里。对于多个，您必须计算分子间的扩散力和碰撞力……这是一个更难的问题，应该以参数方式完成。

您必须计算碰撞，即两个分子的中心彼此相距 2* 半径时，然后进行 conserves momentum 的碰撞。