绘制贝塞尔曲线opengl中每个点的切线和法线

Question

我目前通过将某些 4 阶贝塞尔曲线相加来生成贝塞尔曲线。我正在使用GL_LINES。我需要在每个贝塞尔点绘制切线、法线和副法线。

据我所知，要在任何给定的 t 值处找到切线，方程是

P'(t) = 4 * (1-t)^3 *(P1 - P0) + 12 *(1-t)^2*t*(P2-P1) + 12 * (1-t) * t^2 * (P3-P2) + 4 * t^3 * (P4-P3)

我目前正在以下列方式使用上述等式。

temp = 1-t;
tangentPoints[val].XYZW[j] = (4 * pow(temp, 3)*(V[k + 1].XYZW[j] - V[k].XYZW[j])) + (12 * pow(temp, 2)*t*(V[k + 2].XYZW[j] - V[k + 1].XYZW[j])) + (12 * (temp)*pow(t, 2)*(V[k + 3].XYZW[j] - V[k + 2].XYZW[j])) + (4 * pow(t, 3)*(V[k + 4].XYZW[j] - V[k + 3].XYZW[j])); 

其中 j 对应于 x、y、z 值，tangentPoints 是我为顶点定义的结构。 V是控制点的顶点数组。

我只是在贝塞尔曲线上的点（比如 x）之间画一条线，对于值 t 和它对应的切线值（比如 dx） 然而，在绘制（x，dx）之间的切线时，我得到了这样的东西（从（x，dx）画一条线）。

但是当我将贝塞尔点添加到每个相应的切点时，我得到了正确的图像，即通过在 (x,x+dx) 之间画一条线得到正确的结果

谁能告诉我为什么会这样，并提供一个关于绘制给定贝塞尔点的切线和法线的见解。

Answer 1

虽然P'(t) 有时被称为切线，但它实际上是曲线的导数，也就是速度。例如，如果曲线在二维空间中并且其点以米为单位测量，那么P'(t) 的单位将是米/秒。在“5 米”和“6 米/秒”之间划一条线没有意义，因为它们是不同空间中的点。

您应该做的是在“曲线上的点”和“如果对象从曲线上分离并继续以当前速度移动 1 秒时该对象所在的位置”之间画一条线。介于P(t) 和P(t) + dt * P'(t) 之间。