将有符号整数除以 2 的幂答案

【问题标题】：Divide a signed integer by a power of 2将有符号整数除以 2 的幂
【发布时间】：2017-02-03 03:31:15
【问题描述】：

我正在研究一种仅使用二元运算符（> + ^ ~ & | !）将有符号整数除以 2 的幂的方法，结果必须向 0 舍入。我遇到了this question 也在 Stackoverflow 关于这个问题，但是，我不明白它为什么会起作用。这是解决方案：

int divideByPowerOf2(int x, int n)
{
    return (x + ((x >> 31) & ((1 << n) + ~0))) >> n;
}

我了解x >> 31 部分（仅在x 为负数时添加下一部分，因为如果为正数，x 将自动向0 舍入）。但困扰我的是(1 << n) + ~0 部分。它是如何工作的？

【问题讨论】：

二进制补码。但你是对的，答案没有解释任何事情。现在，当您这样做时，您会遭到反对...
x + ~0 是写x - 1 的一种有趣方式，它只是将舍入掩码截断为n 位
1) 担心除以负数？ 2) 担心可移植地除负数？ 3) 担心处理x == INT_MIN？ 4) 满足/超过int 位宽的 2 的幂呢？否则，目标太窄了，超出了对int 的可能性或范围和细节的狭隘想法，它就没有多大用处。

标签： c binary bit-manipulation

【解决方案1】：

假设 2 补码，仅将被除数移位就相当于某种除法：不是传统的除法，即我们将除数四舍五入到除数的下一个倍数，趋向于零。但是另一种我们将红利四舍五入到负无穷大。我在 Smalltalk 中重新发现了这一点，请参阅 http://smallissimo.blogspot.fr/2015/03/is-bitshift-equivalent-to-division-in.html。

例如，让我们将 -126 除以 8。传统上，我们会写

-126 = -15 * 8 - 6

但是如果我们向无穷大取整，我们会得到一个正余数并写下它：

-126 = -16 * 8 + 2

位移正在执行第二个操作，就位模式而言（为了简短起见，假设 8 位长 int）：

1000|0010 >> 3 = 1111|0000
1000|0010      = 1111|0000 * 0000|1000 + 0000|0010

如果我们想要传统的除法，商向零舍入，余数与被除数相同，该怎么办？很简单，我们只需要将商加 1 - 当且仅当被除数为负且除法不精确时。

你看到x>>31对应第一个条件，被除数为负，假设int有32位。

如果除法不精确，则第二项对应第二个条件。

看看 -1, -2, -4, ... 如何在两个补码中编码：1111|1111、1111|1110、1111|1100。所以 2 的 n 次方的否定有 n 个尾随零。

当被除数有 n 个尾随零并且我们除以 2^n 时，则不需要在最终商中加 1。在任何其他情况下，我们都需要添加 1。

((1

最后 n 位并不重要，因为我们将向右移动并丢弃它们。因此，如果除法是精确的，则被除数的 n 个尾随位为零，我们只需添加将被跳过的 n 个 1。相反，如果除法不精确，则被除数的 n 个尾随位中的一个或多个为 1，我们肯定会导致 n+1 位位置进位：这就是我们将商加 1 的方式（我们将 2^n 添加到股息）。这是否解释得更清楚一点？

【讨论】：

【解决方案2】：

这是“只写代码”：不要试图理解代码，而是尝试自己创建它。

例如，让我们将一个数字除以 8（右移 3）。如果该数字为负数，则正常的右移会朝错误的方向舍入。让我们通过添加一个数字来“修复”它：

int divideBy8(int x)
{
    if (x >= 0)
        return x >> 3;
    else
        return (x + whatever) >> 3;
}

在这里，您可以为whatever 提出一个数学公式，或者进行一些反复试验。无论如何，这里whatever = 7：

int divideBy8(int x)
{
    if (x >= 0)
        return x >> 3;
    else
        return (x + 7) >> 3;
}

如何统一这两种情况？您需要创建一个如下所示的表达式：

(x + stuff) >> 3

其中stuff 是 7 表示负 x，0 表示正 x。这里的技巧是使用x >> 31，这是一个32位数字，其位等于x的符号位：全0或全1。所以stuff是

(x >> 31) & 7

结合所有这些，并将 8 和 7 替换为更一般的 2 的幂，您就得到了您所询问的代码。

注意：在上面的描述中，我假设int代表一个32位的硬件寄存器，硬件使用二进制补码表示进行右移。

【讨论】：

由于x 是int 类型，当x 为负数时，(x >> 31) 可能会或可能不会导致全1。 ISO C 标准规定（例如 C99 第 6.5.7 节第 5 段）右移负值的有符号整数会调用 实现定义 行为。
实现定义的行为可以通过强制转换为无符号来修复，如果它移动 0，这个解决方案也会中断。

【解决方案3】：

OP 的参考是 C# 代码和许多细微的差异，导致它与 C 的错误代码，因为这篇文章被标记了。

int 不一定是 32 位的，因此使用 32 的幻数并不能提供可靠的解决方案。

特别是(1 << n) + ~0 导致实现定义的行为，当n 导致一个位被转移到符号位置时。编码不好。

将代码限制为仅使用“二进制”运算符 << >> + ^ ~ & | ! 会鼓励编码人员假设关于 int 的事情，这既不便携也不符合 C 规范。所以 OP 发布的代码一般不会“工作”，尽管可能在许多常见的实现中工作。

当 int 不是 2 的补码、不使用范围 [-2147483648 .. 2147483647] 或 1 << n 使用与预期不符的实现行为时，OP 代码会失败。

// weak code
int divideByPowerOf2(int x, int n) {
  return (x + ((x >> 31) & ((1 << n) + ~0))) >> n;
}

假设long long 超出int 的范围，下面是一个简单的替代方案。我怀疑这是否符合 OP 目标的某些角，但 OP 的既定目标鼓励非鲁棒编码。

int divideByPowerOf2(int x, int n) {
  long long ill = x;
  if (x < 0) ill = -ill;
  while (n--) ill >>= 1;
  if (x < 0) ill = -ill;
  return (int) ill;
}

【讨论】：