寻找可能利润的算法

Question

我正在寻找一种算法（除了天真的蛮力解决方案没有运气），它可以有效地（最好是 O(n^2)）执行以下操作：

假设我正在玩一个游戏，在这个游戏中我必须回答 n 个问题（每个问题来自不同的类别）。对于每个类别“i”i=1,...,n 我计算了概率 p_i 给出正确答案。

对于每个连续的 k 个正确答案，我得到 k^4 分。预期的平均利润是多少？

我将在以下示例中阐明预期利润的含义：

在 n=3 且 p_1=0.2,p_2=0.3,p_3=0.4 的情况下

预期利润为

EP= (0.2* 0.3* 0.4 )3^4+（我的 3 个答案都正确）

• (0.2* 0.3* 0.6 )2^4+ (0.8* 0.3* 0.4 )2^4+ (0.2* 0.7* 0.4 )2+（2个答案正确）

• 0.2* 0.7* 0.6 ) + (0.8* 0.3* 0.6 )+ (0.8*0.7* 0.4 ) (1 个回答正确)

  很明显，对于每个可能的结果，我都在计算概率并将其与获得的分数相乘。然后从所有这些中扣除总和。

有什么想法吗？ 我只对总和本身感兴趣。

谢谢！

Answer 1

假设t = 0、t = n 或t'th 问题的回答错误，假设t 问题后的预期利润为A[t]。然后你可以计算

A[0] = 0

A[t] = sum(i = 0..t-1) (得到问题的概率i .. t-2 正确和t-1 错误) * ((t-i-1)^{4 + A[i]) 当0 < t < n.}

A[n] 的计算方式与上述一般情况类似，但您还应添加一个术语，表示ith 之后的所有问题都得到正确回答。